A função densidade normal de probabilidade é dada por G(x)=1raiz2 pi integral0^x e^-t^2 / 2 d t. Ache G^prime(x). (Resposta: 1raiz2 pi e^-x^2 / 2 )
28
Determine o valor médio das funções no intervalo dado:
(a) f(x)=x^2 raizx^3+1 no intervalo [0,2]. (Resposta: 269 )

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor médio da função no intervalo . Para isso, vamos usar o conceito de valor médio de uma função em um determinado intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o valor médio de uma função Valor médio = 1b - a integrala^b f(x) , dx no intervalo . A fórmula é:
é
Isso significa que precisamos integrar a função de até e depois dividir pelo comprimento do intervalo.

Passo 3

No nosso caso, a função é a = 0 e b = 2 , e o intervalo é . Então, identificamos:

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula do valor médio:
Valor médio = 12 - 0 integral0^2 x^2 raizx^3 + 1 , dx = 12 integral0^2 x^2 raizx^3 + 1 , dx é

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral:
integral0^2 x^2 raizx^3 + 1 , dx
Para simplificar essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos deixar du = 3x^2 , dx Rightarrow du3 = x^2 , dx . Então, derivando em relação a :

Passo 6

Substituindo na integral:
integral x^2 raizx^3 + 1 , dx = integral raizu cdot du3 = 13 integral u^1/2 , du
Integrando 13 cdot u^3/23/2 = 29 u^3/2 + C :

Passo 7

Voltando para a variável 29 (x^3 + 1)^3/2 + C :
[ 29 (x^3 + 1)^3/2 ]0^2 = 29 [ (2^3 + 1)^3/2 - (0^3 + 1)^3/2 ] = 29 [ (8 + 1)^3/2 - (1)^3/2 ]
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
= 29 [ 9^3/2 - 1 ] = 29 [ 27 - 1 ] = 29 times 26 = 529

Passo 8

Agora, voltando à fórmula do valor médio:
Valor médio = 12 times 529 = 269 é

Resposta

O valor médio da função no intervalo é .

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