Sejam
. Mostre que:
а)
а)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos dois elementos
e
em um grupo
. O objetivo é mostrar que o inverso do inverso de
é igual a
, ou seja,
. Para resolver isso, precisamos entender o que é um grupo e o que significa o inverso de um elemento dentro desse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo. Um grupo
é um conjunto
acompanhado por uma operação binária
que satisfaz quatro propriedades:
- Fechamento: Para todos
, o resultado de também está em . - Associatividade: Para todos
, . - Elemento neutro: Existe um elemento
tal que, para todo , . - Elemento inverso: Para cada
, existe um elemento tal que , onde é o elemento neutro.
Passo 3
Agora, focando no que precisamos provar:
. Isso significa que se pegarmos o inverso do inverso de
, voltaremos ao elemento original
. Para provar isso, vamos usar a definição de elemento inverso e as propriedades do grupo.
Passo 4
Sabemos que
é o inverso de
, então por definição:
onde
é o elemento neutro do grupo.
Passo 5
Agora, queremos descobrir o inverso de
, que é
. Por definição de inverso, temos:
Passo 6
Já que
, podemos comparar as duas equações:
Isso sugere que
e
têm a mesma relação com
.
Passo 7
Em um grupo, o inverso de um elemento é único. Isso significa que só existe um elemento que multiplicado por
resulta no elemento neutro
.
Passo 8
Dado que
e
, e sabendo que o inverso é único, concluímos que:
Resposta
Portanto, demonstramos que
.
Exercícios relacionados
Enuncie o Teorema de Euler e dê aplicações.
Seja G um grupo cíclico de ordem n gerado por a. Prove que G tem
geradores.
Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
а) , onde
а)
Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
e) , onde
e)