Sejam a, b in(G, *). Mostre que:
а) (a^prime)^prime=a

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos dois elementos e em um grupo . O objetivo é mostrar que o inverso do inverso de é igual a , ou seja, . Para resolver isso, precisamos entender o que é um grupo e o que significa o inverso de um elemento dentro desse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto acompanhado por uma operação binária que satisfaz quatro propriedades:
  1. Fechamento: Para todos , o resultado de também está em .
  2. Associatividade: Para todos , .
  3. Elemento neutro: Existe um elemento tal que, para todo , .
  4. Elemento inverso: Para cada , existe um elemento tal que , onde é o elemento neutro.

Passo 3

Agora, focando no que precisamos provar: . Isso significa que se pegarmos o inverso do inverso de , voltaremos ao elemento original . Para provar isso, vamos usar a definição de elemento inverso e as propriedades do grupo.

Passo 4

Sabemos que a * a' = e é o inverso de , então por definição:
onde é o elemento neutro do grupo.

Passo 5

Agora, queremos descobrir o inverso de a' * (a')' = e , que é . Por definição de inverso, temos:

Passo 6

Já que , podemos comparar as duas equações:
Isso sugere que e têm a mesma relação com .

Passo 7

Em um grupo, o inverso de um elemento é único. Isso significa que só existe um elemento que multiplicado por resulta no elemento neutro .

Passo 8

Dado que (a')' = a e , e sabendo que o inverso é único, concluímos que:

Resposta

Portanto, demonstramos que .

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