Seja
uma matriz real de ordem
com
autovalores distintos. Seja
uma matriz que comuta com
, onde
representa a matriz identidade de ordem
. Considere as seguintes afirmações:
(II) Todos os autovetores de
são autovetores de
(II) Todos os autovetores de
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma matriz
de ordem
com
autovalores distintos. Além disso, existe uma matriz
que não é a identidade e que comuta com
, ou seja,
. A afirmação que vamos analisar é: Todos os autovetores de
são autovetores de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e matrizes que comutam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que duas matrizes comutam. Duas matrizes
e
comutam se
. Isso tem implicações interessantes quando
tem autovalores distintos. Quando
tem
autovalores distintos, ela é diagonalizável, o que facilita nossa análise.
Passo 3
Como
é diagonalizável e possui
autovalores distintos, podemos escrever
na forma
, onde
é uma matriz diagonal com os autovalores de
e
é a matriz cujas colunas são os autovetores de
. Agora, como
comuta com
, temos:
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados por
à esquerda e por
à direita para simplificar:
Isso nos leva a:
Ou seja,
comuta com
.
Passo 5
Sabemos que
é uma matriz diagonal com elementos distintos na diagonal. A única maneira de uma matriz diagonal
com elementos distintos comutar com outra matriz é se essa outra matriz também for diagonal. Portanto,
deve ser diagonal.
Passo 6
Se
é diagonal, isso significa que
pode ser escrita como
, ou seja,
é diagonal na mesma base que
. Consequentemente,
compartilha a mesma base de autovetores que
.
Passo 7
Como
é diagonal na base dos autovetores de
, cada autovetor de
também é um autovetor de
. Isso confirma a afirmação de que todos os autovetores de
são autovetores de
.
Resposta
A afirmação (II) é verdadeira: todos os autovetores de
são também autovetores de
.