Seja A uma matriz real de ordem n > 1 com n autovalores distintos. Seja B != I_n uma matriz que comuta com A, onde In representa a matriz identidade de ordem n. Considere as seguintes afirmações:
(II) Todos os autovetores de A são autovetores de B

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma matriz de ordem com autovalores distintos. Além disso, existe uma matriz que não é a identidade e que comuta com , ou seja, . A afirmação que vamos analisar é: Todos os autovetores de são autovetores de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e matrizes que comutam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que duas matrizes comutam. Duas matrizes e comutam se . Isso tem implicações interessantes quando tem autovalores distintos. Quando tem autovalores distintos, ela é diagonalizável, o que facilita nossa análise.

Passo 3

Como é diagonalizável e possui autovalores distintos, podemos escrever na forma , onde é uma matriz diagonal com os autovalores de e é a matriz cujas colunas são os autovetores de . Agora, como comuta com , temos:

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados por à esquerda e por à direita para simplificar:
Isso nos leva a:
Ou seja, comuta com .

Passo 5

Sabemos que é uma matriz diagonal com elementos distintos na diagonal. A única maneira de uma matriz diagonal com elementos distintos comutar com outra matriz é se essa outra matriz também for diagonal. Portanto, deve ser diagonal.

Passo 6

Se é diagonal, isso significa que pode ser escrita como , ou seja, é diagonal na mesma base que . Consequentemente, compartilha a mesma base de autovetores que .

Passo 7

Como é diagonal na base dos autovetores de , cada autovetor de também é um autovetor de . Isso confirma a afirmação de que todos os autovetores de são autovetores de .

Resposta

A afirmação (II) é verdadeira: todos os autovetores de são também autovetores de .

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