Seja
. Determine os pontos críticos e classifique-os.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente tem que encontrar os pontos críticos da função
e depois dizer se esses pontos são mínimos, máximos ou pontos de inflexão. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela está crescendo ou decrescendo em cada ponto.
A função é:
Vamos derivar termo a termo:
- A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de uma constante (1) é 0
Então, a derivada
fica:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente precisa resolver a equação onde a derivada é igual a zero:
Essa é uma equação do segundo grau, que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
.
Vamos calcular o discriminante (
):
Como
é maior que zero, temos duas raízes reais distintas.
Calculando as raízes:
Então:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los para saber se são mínimos, máximos ou pontos de inflexão. Para isso, podemos usar a segunda derivada.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada de
:
Derivando novamente:
Vamos avaliar
nos pontos críticos.
- Para
:
Como
, isso indica que a função tem um mínimo nesse ponto.
- Para
:
Como
, isso indica que a função tem um máximo nesse ponto.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
— ponto de mínimo -
— ponto de máximo
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(e) ;
(e)
Apresente um exemplo de uma equação diferencial com coeficientes constantes.
Dê exemplo de uma função afim.
Obtenha a equação da reta vertical que passa por