Seja g(x) = x^3 + 2x^2 + x + 1. Determine os pontos críticos e classifique-os.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente tem que encontrar os pontos críticos da função e depois dizer se esses pontos são mínimos, máximos ou pontos de inflexão. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela está crescendo ou decrescendo em cada ponto.
A função é:
Vamos derivar termo a termo:
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de uma constante (1) é 0
Então, a derivada fica:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente precisa resolver a equação onde a derivada é igual a zero:
Essa é uma equação do segundo grau, que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e .
Vamos calcular o discriminante ( ):
Como é maior que zero, temos duas raízes reais distintas.
Calculando as raízes:
Então:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los para saber se são mínimos, máximos ou pontos de inflexão. Para isso, podemos usar a segunda derivada.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada de :
Derivando novamente:
Vamos avaliar nos pontos críticos.
  1. Para :
Como , isso indica que a função tem um mínimo nesse ponto.
  1. Para :
Como , isso indica que a função tem um máximo nesse ponto.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • — ponto de mínimo
  • — ponto de máximo

Exercícios relacionados

Estude as funções a seguir com respeito à concavidade e pontos de inflexão.
(e) m(x) = 2 x cos^2(x);
Apresente um exemplo de uma equação diferencial com coeficientes constantes.
Dê exemplo de uma função afim.
Obtenha a equação da reta vertical que passa por 5,1