Estude as funções a seguir com respeito à concavidade e pontos de inflexão.
(e) m(x) = 2 x cos^2(x);

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão: precisamos estudar a função em relação à concavidade e pontos de inflexão. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, específico sobre derivadas e análise de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A função é . Para derivar essa função, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Aqui, e .
Derivando :
Derivando usando a regra da cadeia:
Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada para analisar a concavidade. Precisamos derivar .
Vamos derivar cada termo separadamente.
Para :
Usamos a regra da cadeia novamente.
Para :
Usamos a regra do produto:
Juntando tudo:

Passo 4

Agora que temos a segunda derivada, vamos analisar a concavidade da função. A concavidade depende do sinal de :
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Vamos simplificar :
Usamos a identidade trigonométrica .
Então:

Passo 5

Para encontrar os pontos de inflexão, procuramos os valores de onde e onde a concavidade muda de côncava para cima para côncava para baixo, ou vice-versa.
Resolvendo :
(usando )
Essa equação é transcendental e geralmente não pode ser resolvida analiticamente, então precisaríamos usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar as soluções aproximadas.

Resposta

A função tem regiões de concavidade para cima e para baixo determinadas pelo sinal da segunda derivada . Os pontos de inflexão ocorrem nos valores de onde e há mudança na concavidade. Esses pontos devem ser encontrados numericamente, já que a equação resultante é transcendental e não possui solução analítica simples.

Exercícios relacionados

Apresente um exemplo de uma equação diferencial com coeficientes constantes.
Determine a derivada de cada uma das funções a seguir.
(m) y = (x^2 + cot(x^2))^3;
Seja g(x) = x^3 + 2x^2 + x + 1. Determine os pontos críticos e classifique-os.
Dê exemplo de uma função afim.