Estude as funções a seguir com respeito à concavidade e pontos de inflexão.
(e)
;
(e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão: precisamos estudar a função
em relação à concavidade e pontos de inflexão. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, específico sobre derivadas e análise de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A função é
. Para derivar essa função, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Aqui,
e
.
Derivando
:
Derivando
usando a regra da cadeia:
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
para analisar a concavidade. Precisamos derivar
.
Vamos derivar cada termo separadamente.
Para
:
Usamos a regra da cadeia novamente.
Usamos a regra da cadeia novamente.
Para
:
Usamos a regra do produto:
Usamos a regra do produto:
Juntando tudo:
Passo 4
Agora que temos a segunda derivada, vamos analisar a concavidade da função. A concavidade depende do sinal de
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Vamos simplificar
:
Usamos a identidade trigonométrica
.
Então:
Passo 5
Para encontrar os pontos de inflexão, procuramos os valores de
onde
e onde a concavidade muda de côncava para cima para côncava para baixo, ou vice-versa.
Resolvendo
:
Essa equação é transcendental e geralmente não pode ser resolvida analiticamente, então precisaríamos usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar as soluções aproximadas.
Resposta
A função
tem regiões de concavidade para cima e para baixo determinadas pelo sinal da segunda derivada
. Os pontos de inflexão ocorrem nos valores de
onde
e há mudança na concavidade. Esses pontos devem ser encontrados numericamente, já que a equação resultante é transcendental e não possui solução analítica simples.
Exercícios relacionados
Apresente um exemplo de uma equação diferencial com coeficientes constantes.
Determine a derivada de cada uma das funções a seguir.
(m) ;
(m)
Seja
. Determine os pontos críticos e classifique-os.
Dê exemplo de uma função afim.