Seja
. Dado um ponto inicial
e um ponto final
, calcule
usando o caminho: (a) linha reta:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e precisamos calcular a integral de linha
do ponto inicial
até o ponto final
seguindo um caminho específico: uma linha reta onde
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais de linha em campos vetoriais, que basicamente mede o trabalho realizado pelo campo ao longo desse caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o caminho de
a
. Como
e
, podemos escolher
como nosso parâmetro, vamos chamar de
. Então, a parametrização fica:
Agora, precisamos saber os limites de
. No ponto
,
, e no ponto
,
. Então,
vai de 2 a 4.
Passo 3
Em seguida, encontramos o vetor diferencial
. Sabemos que:
Onde
.
Calculando a derivada em relação a
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos substituir a parametrização no campo vetorial
:
Substituindo
,
, e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Finalmente, vamos integrar essa expressão de
a
:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Resposta
Calculando de
a
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Então, a integral de linha é 90.