Seja G=3 x y^2 ax+2 z ay. Dado um ponto inicial P(2,1,1) e um ponto final Q(4,3,1), calcule integral G cdot d L usando o caminho: (a) linha reta: y=x-1, z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial G = 3xy^2 ax + 2z ay e precisamos calcular a integral de linha integral G cdot dL do ponto inicial P(2,1,1) até o ponto final Q(4,3,1) seguindo um caminho específico: uma linha reta onde y = x - 1 e z = 1. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais de linha em campos vetoriais, que basicamente mede o trabalho realizado pelo campo ao longo desse caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho de P a Q. Como y = x - 1 e z = 1, podemos escolher x como nosso parâmetro, vamos chamar de t. Então, a parametrização fica:
x = t
y = t - 1
z = 1
Agora, precisamos saber os limites de t. No ponto P, x = 2, e no ponto Q, x = 4. Então, t vai de 2 a 4.

Passo 3

Em seguida, encontramos o vetor diferencial dL. Sabemos que:
dL = drdt dt
Onde r(t) = x ax + y ay + z az = t ax + (t - 1) ay + 1 az.
Calculando a derivada em relação a t:
drdt = ddt (t ax + (t - 1) ay + 1 az) = ax + ay + 0 az = ax + ay
Então,
dL = (ax + ay) dt

Passo 4

Agora, vamos substituir a parametrização no campo vetorial G:
G(t) = 3xy^2 ax + 2z ay
Substituindo x = t, y = t - 1, e z = 1:
G(t) = 3t(t - 1)^2 ax + 2(1) ay = 3t(t^2 - 2t + 1) ax + 2 ay
= 3t^3 - 6t^2 + 3t ax + 2 ay

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar G cdot dL:
G cdot dL = (3t^3 - 6t^2 + 3t) cdot 1 + 2 cdot 1 = 3t^3 - 6t^2 + 3t + 2

Passo 6

Finalmente, vamos integrar essa expressão de t = 2 a t = 4:
integral2^4 (3t^3 - 6t^2 + 3t + 2) dt
Vamos integrar termo a termo:
integral 3t^3 dt = 34 t^4
integral -6t^2 dt = -2t^3
integral 3t dt = 32 t^2
integral 2 dt = 2t
Então, a integral fica:
[ 34 t^4 - 2t^3 + 32 t^2 + 2t ]2^4

Resposta

Calculando de t = 2 a t = 4:
Para t = 4:
34(4)^4 - 2(4)^3 + 32(4)^2 + 2(4) = 34(256) - 2(64) + 32(16) + 8 = 192 - 128 + 24 + 8 = 96
Para t = 2:
34(2)^4 - 2(2)^3 + 32(2)^2 + 2(2) = 34(16) - 2(8) + 32(4) + 4 = 12 - 16 + 6 + 4 = 6
Subtraindo:
96 - 6 = 90
Então, a integral de linha é 90.

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