Um campo elétrico, no espaço livre, é dado por E=x ax+4 z ay+4 y az. Dado V(1,1,1)=10 V. determine V(3,3,3).

Passo 1

Beleza, vamos descobrir o que o exercício está pedindo. A gente tem um campo elétrico no espaço livre dado por:
E = x ax + 4 z ay + 4 y az
E sabemos que o potencial elétrico em V(1,1,1) = 10 V. Precisamos encontrar o potencial em outro ponto, V(3,3,3). Para resolver isso, vamos usar conceitos de calculo vetorial e teoria do campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, lembra que o campo elétrico E está relacionado ao potencial elétrico V pela relação:
E = -nabla V
Isso significa que podemos encontrar a diferença de potencial entre dois pontos integrando o campo elétrico ao longo de um caminho entre eles.

Passo 3

Vamos definir o caminho que vamos seguir para integrar. Uma forma simples é mover-se de (1,1,1) para (3,3,3) seguindo três passos:
  1. Mover-se de x = 1 para x = 3 mantendo y = 1 e z = 1.
  2. Mover-se de y = 1 para y = 3 mantendo x = 3 e z = 1.
  3. Mover-se de z = 1 para z = 3 mantendo x = 3 e y = 3.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral para cada segmento do caminho.
1. De (1,1,1) para (3,1,1):
Aqui, apenas x varia de 1 para 3. As contribuições de y e z ficam constantes.
A integral fica:
integral1^3 Ex , dx = integral1^3 x , dx = [12x^2]1^3 = 12(9 - 1) = 4 , V
2. De (3,1,1) para (3,3,1):
Agora, apenas y varia de 1 para 3. A contribuição vem do termo 4z.
A integral fica:
integral1^3 Ey , dy = integral1^3 4z , dy = 4z cdot (3 - 1) = 4 cdot 1 cdot 2 = 8 , V
3. De (3,3,1) para (3,3,3):
Por fim, apenas z varia de 1 para 3. A contribuição vem do termo 4y.
A integral fica:
integral1^3 Ez , dz = integral1^3 4y , dz = 4y cdot (3 - 1) = 4 cdot 3 cdot 2 = 24 , V

Passo 5

Agora, somamos todas as integrais para obter a diferença de potencial total:
De
Sabemos que V(1,1,1) = 10 V, então:
V(3,3,3) = V(1,1,1) + De

Resposta

O potencial em V(3,3,3) é -26 V.

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