Seja V um espaço euclidiano. Se T: V V é uma transformação linear que conserva o produto interno, prove que T é uma isometria. (Veja a proposição 7.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um espaço euclidiano lang<= T(u), T(v) rang<= = lang<= u, v rang<= e uma transformação linear que preserva o produto interno, ou seja, para quaisquer vetores e em , temos:
O que precisamos provar é que essa transformação é uma isometria. Basicamente, uma isometria é uma transformação que mantém as distâncias entre os vetores iguais. Para isso, vamos precisar entender o que significa preservar o produto interno e como isso se relaciona com as distâncias no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno. No espaço euclidiano, o produto interno de dois vetores e é denotado por e basicamente combina as componentes dos vetores para dar um número real. Esse produto interno está ligado ao comprimento (ou norma) dos vetores e ao ângulo entre eles.

Passo 3

Uma isometria é uma transformação que preserva a distância entre quaisquer dois pontos. A distância entre dois vetores Distância(u, v) = | u - v | e | T(u) - T(v) | = | u - v | pode ser calculada usando a norma (comprimento) dos vetores:
â
Então, para mostrar que é uma isometria, precisamos mostrar que:

Passo 4

Vamos focar na norma de um vetor, que é dada por:
| w | = raizlang<= w, w rang<=
Então, para | u - v | = raizlang<= u - v, u - v rang<= , temos:
| T(u) - T(v) | = raizlang<= T(u) - T(v), T(u) - T(v) rang<=
E de forma similar:

Passo 5

Agora, vamos usar o fato de que lang<= T(u) - T(v), T(u) - T(v) rang<= = lang<= u - v, u - v rang<= preserva o produto interno. Isso significa que:
| T(u) - T(v) | = raizlang<= u - v, u - v rang<= = | u - v |
Portanto:

Passo 6

Isso mostra exatamente que a distância entre e é igual à distância entre e . Como isso vale para quaisquer vetores e em , concluímos que preserva todas as distâncias no espaço.

Resposta

Portanto, é uma isometria, já que preserva as distâncias entre todos os vetores em .

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