Seja V um espaço euclidiano. Se
é uma transformação linear que conserva o produto interno, prove que T é uma isometria. (Veja a proposição 7.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um espaço euclidiano
e uma transformação linear
que preserva o produto interno, ou seja, para quaisquer vetores
e
em
, temos:
O que precisamos provar é que essa transformação
é uma isometria. Basicamente, uma isometria é uma transformação que mantém as distâncias entre os vetores iguais. Para isso, vamos precisar entender o que significa preservar o produto interno e como isso se relaciona com as distâncias no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno. No espaço euclidiano, o produto interno de dois vetores
e
é denotado por
e basicamente combina as componentes dos vetores para dar um número real. Esse produto interno está ligado ao comprimento (ou norma) dos vetores e ao ângulo entre eles.
Passo 3
Uma isometria é uma transformação que preserva a distância entre quaisquer dois pontos. A distância entre dois vetores
e
pode ser calculada usando a norma (comprimento) dos vetores:
Então, para mostrar que
é uma isometria, precisamos mostrar que:
Passo 4
Vamos focar na norma de um vetor, que é dada por:
Então, para
, temos:
E de forma similar:
Passo 5
Agora, vamos usar o fato de que
preserva o produto interno. Isso significa que:
Portanto:
Passo 6
Isso mostra exatamente que a distância entre
e
é igual à distância entre
e
. Como isso vale para quaisquer vetores
e
em
, concluímos que
preserva todas as distâncias no espaço.
Resposta
Portanto,
é uma isometria, já que preserva as distâncias entre todos os vetores em
.