Seja
, o fator de amortecimento de um Oscilador Amortecido, onde
é a massa do oscilador e b o coeficiente de amortecimento. Mostre que se
, a energia do oscilador em questão pode ser aproximada para a eq. (03).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um oscilador amortecido, onde:
-
é o fator de amortecimento. -
é a massa do oscilador. -
é o coeficiente de amortecimento. -
é a constante elástica da mola. -
é a energia do oscilador em função do tempo.
O exercício quer que a gente mostre que, quando
, a energia
pode ser aproximada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas oscilatórios amortecidos e como a energia se comporta nesses sistemas, especialmente em regimes de baixo amortecimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total de um oscilador harmônico simples (sem amortecimento) é dada por:
onde
é a amplitude da oscilação.
No caso de um oscilador amortecido, a amplitude diminui com o tempo devido ao amortecimento. A equação que descreve a amplitude em função do tempo é:
onde
é a amplitude inicial e
é o fator de amortecimento.
Passo 3
Agora, substituindo
na expressão da energia, temos:
Isso mostra que a energia também decai exponencialmente com o tempo, mas com uma taxa
.
Passo 4
Entretanto, a questão quer que a gente mostre uma aproximação para
quando
. Vamos analisar essa condição.
A frequência angular natural do sistema sem amortecimento é:
A condição
pode ser reescrita em termos de
e
:
Isso significa que o amortecimento é pequeno comparado à frequência natural do sistema, caracterizando o baixo amortecimento.
Passo 5
No regime de baixo amortecimento, as oscilações ainda ocorrem, mas com amplitude decrescente. A energia total do sistema decai principalmente devido ao fator amortecedor
, e podemos aproximar que:
onde
é a amplitude máxima inicial.
Essa aproximação simplifica a expressão original, levando em conta que
é pequeno e, portanto, os termos de ordem superior podem ser negligenciados.
Resposta
Assim, mostramos que quando
, a energia do oscilador amortecido pode ser aproximada por: