Seja gamma=b / m, o fator de amortecimento de um Oscilador Amortecido, onde m é a massa do oscilador e b o coeficiente de amortecimento. Mostre que se b^2 ll m k, a energia do oscilador em questão pode ser aproximada para a eq. (03).
E(t)=12 k Xm e^(-bm) t

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um oscilador amortecido, onde:
  • gamma = bm é o fator de amortecimento.
  • m é a massa do oscilador.
  • b é o coeficiente de amortecimento.
  • k é a constante elástica da mola.
  • E(t) é a energia do oscilador em função do tempo.
O exercício quer que a gente mostre que, quando b^2 ll m k, a energia E(t) pode ser aproximada por:
E(t)=12 k Xm e^(-bm) t
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas oscilatórios amortecidos e como a energia se comporta nesses sistemas, especialmente em regimes de baixo amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total de um oscilador harmônico simples (sem amortecimento) é dada por:
E = 12 k A^2
onde A é a amplitude da oscilação.
No caso de um oscilador amortecido, a amplitude diminui com o tempo devido ao amortecimento. A equação que descreve a amplitude em função do tempo é:
A(t) = A0 e^-gamma t
onde A0 é a amplitude inicial e gamma = bm é o fator de amortecimento.

Passo 3

Agora, substituindo A(t) na expressão da energia, temos:
E(t) = 12 k [A(t)]^2 = 12 k ( A0 e^-gamma t )^2 = 12 k A0^2 e^-2gamma t
Isso mostra que a energia também decai exponencialmente com o tempo, mas com uma taxa 2gamma.

Passo 4

Entretanto, a questão quer que a gente mostre uma aproximação para E(t) quando b^2 ll m k. Vamos analisar essa condição.
A frequência angular natural do sistema sem amortecimento é:
omega0 = raizkm
A condição b^2 ll m k pode ser reescrita em termos de gamma e omega0:
( bm )^2 ll km Rightarrow gamma^2 ll omega0^2
Isso significa que o amortecimento é pequeno comparado à frequência natural do sistema, caracterizando o baixo amortecimento.

Passo 5

No regime de baixo amortecimento, as oscilações ainda ocorrem, mas com amplitude decrescente. A energia total do sistema decai principalmente devido ao fator amortecedor e^-gamma t, e podemos aproximar que:
E(t) approx 12 k Xm e^-gamma t
onde Xm é a amplitude máxima inicial.
Essa aproximação simplifica a expressão original, levando em conta que (gamma t) é pequeno e, portanto, os termos de ordem superior podem ser negligenciados.

Resposta

Assim, mostramos que quando b^2 ll m k, a energia do oscilador amortecido pode ser aproximada por:
E(t)=12 k Xm e^(-bm) t

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