Vamos calcular a corrente elétrica em diferentes condutores? Se conhecemos a densidade de corrente J, que atravessa determinada seção transversal de um fio, podemos encontrar a corrente elétrica por meio da relação abaixo!
  • A corrente i (uma grandeza escalar) está relacionada à densidade de corrente J (uma grandeza vetorial) pela equação
i=integral J cdot d A
Qual é a corrente que passa por um anel, com largura L, concêntrico com um fio cilíndrico, mas situado a uma distância D do centro do fio, cuja densidade de corrente é dada por J(r)=k / r, em que r é a distância do centro do fio em metros, e k é uma constante?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a corrente elétrica que passa por um anel com largura $ L $, que está a uma distância $ D $ do centro de um fio cilíndrico. A densidade de corrente nesse fio é dada por $ J® = \frac{k}{r} $, onde $ r $ é a distância do centro do fio. Para isso, vamos usar a relação entre corrente elétrica e densidade de corrente, que envolve uma integração sobre a área do anel.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é densidade de corrente. A densidade de corrente $ \vec{J} $ nos diz quanta corrente está passando por uma área unitária em cada ponto. Para encontrar a corrente total $ i $ que passa pelo anel, a gente integra essa densidade sobre toda a área do anel:
J
Aqui, $ d\vec{A} $ é um elemento de área do anel.

Passo 3

No nosso caso, a densidade de corrente é $ J® = \frac{k}{r} $. Como o anel tem uma largura $ L $ e está a uma distância $ D $ do centro, a gente pode considerar que $ r $ varia de $ D $ até $ D + L $. Para facilitar, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde a área de um anel circular de raio $ r $ e largura $ dr $ é:
J(r) = kr
Isso porque a circunferência do anel é $ 2\pi r $ e a largura é $ L $.

Passo 4

Agora, vamos substituir $ J® $ e $ dA $ na equação da corrente:
J(r)
Simplificando $ \frac{k}{r} \cdot r $, temos:
dA
A integral de $ dr $ de $ D $ até $ D + L $ é simplesmente $ L $, então:
i = integralD^D+L kr cdot 2pi r L dr

Resposta

A corrente que passa pelo anel é $ i = 2\pi k L^2 $.

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