Vamos calcular a corrente elétrica em diferentes condutores? Se conhecemos a densidade de corrente J, que atravessa determinada seção transversal de um fio, podemos encontrar a corrente elétrica por meio da relação abaixo!
A corrente (uma grandeza escalar) está relacionada à densidade de corrente (uma grandeza vetorial) pela equação
Qual é a corrente que passa por um fio, com diâmetro , cuja densidade de corrente é dada por , em que r é a distância do centro do fio em metros, e k é uma constante?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Queremos calcular a corrente elétrica que passa por um fio com diâmetro $ D $. Sabemos que a densidade de corrente $ \vec{J}® $ varia com a distância $ r $ do centro do fio e é dada por $ \vec{J}® = \frac{k}{r} $, onde $ k $ é uma constante. Para achar a corrente total $ i $, vamos usar a fórmula:
D
Aqui, $ \vec{J} $ é a densidade de corrente e $ d\vec{A} $ é um elemento de área perpendicular à direção da corrente. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a seção transversal do fio. Como o fio é cilíndrico, a área que vamos integrar é um círculo com diâmetro $ D $. O raio do fio é $ R = \frac{D}{2} $.
Passo 3
Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração, já que a densidade de corrente depende apenas da distância $ r $ do centro. Em coordenadas polares, um elemento de área $ dA $ é dado por:
r
Isso porque estamos integrando ao longo de círculos concêntricos de raio $ r $.
Passo 4
Substituímos $ \vec{J}® $ e $ dA $ na equação da corrente:
J(r)
Aqui, $ R = \frac{D}{2} $ é o raio do fio.
Passo 5
Simplificamos a expressão. Observamos que $ \frac{k}{r} \cdot r = k $, então a integral fica: