Prove que não existe uma função bijetora f: A B de um conjunto finito A sobre uma parte própria B subset A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente provar que não existe uma função bijetora quando é um conjunto finito e é uma parte própria de (ou seja, é um subconjunto de que não é igual a inteiro). A gente vai usar conceitos de funções bijetoras e propriedades de conjuntos finitos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função bijetora. Uma função bijetora é aquela que é simultaneamente injetora (cada elemento de é mapeado para um elemento único de ) e sobrejetora (todo elemento de é atingido por pelo menos um elemento de ). Ou seja, não sobram elementos em nenhum dos conjuntos.

Passo 3

Agora, como é finito, vamos supor que tem elementos. Já que é uma parte própria de , isso significa que tem menos de elementos, digamos , onde .

Passo 4

Vamos pensar na função . Como é sobrejetora, cada elemento de deve ser atingido por pelo menos um elemento de . Mas tem elementos e tem apenas elementos. Isso significa que pelo menos um elemento de teria que ser a imagem de mais de um elemento de .

Passo 5

Isso cria um problema para a injetividade. Se dois elementos diferentes de são mapeados para o mesmo elemento de , então não é injetora. Portanto, a função não pode ser tanto injetora quanto sobrejetora ao mesmo tempo.

Passo 6

Como não conseguimos que seja bijetora devido à diferença no número de elementos, concluímos que não existe uma função bijetora quando é uma parte própria de e é finito.

Resposta

Não existe uma função bijetora de um conjunto finito sobre uma parte própria .

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