Prove que não existe uma função bijetora
de um conjunto finito
sobre uma parte própria
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente provar que não existe uma função bijetora
quando
é um conjunto finito e
é uma parte própria de
(ou seja,
é um subconjunto de
que não é igual a
inteiro). A gente vai usar conceitos de funções bijetoras e propriedades de conjuntos finitos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função bijetora. Uma função bijetora é aquela que é simultaneamente injetora (cada elemento de
é mapeado para um elemento único de
) e sobrejetora (todo elemento de
é atingido por pelo menos um elemento de
). Ou seja, não sobram elementos em nenhum dos conjuntos.
Passo 3
Agora, como
é finito, vamos supor que
tem
elementos. Já que
é uma parte própria de
, isso significa que
tem menos de
elementos, digamos
, onde
.
Passo 4
Vamos pensar na função
. Como
é sobrejetora, cada elemento de
deve ser atingido por pelo menos um elemento de
. Mas
tem
elementos e
tem apenas
elementos. Isso significa que pelo menos um elemento de
teria que ser a imagem de mais de um elemento de
.
Passo 5
Isso cria um problema para a injetividade. Se dois elementos diferentes de
são mapeados para o mesmo elemento de
, então
não é injetora. Portanto, a função
não pode ser tanto injetora quanto sobrejetora ao mesmo tempo.
Passo 6
Como não conseguimos que
seja bijetora devido à diferença no número de elementos, concluímos que não existe uma função bijetora
quando
é uma parte própria de
e
é finito.
Resposta
Não existe uma função bijetora
de um conjunto finito
sobre uma parte própria
.