Verifique que o conjunto W=(x, y, z) in R^3 ; x=5 z é um subespaço de R^3 com as operações usuais.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos verificar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, precisamos lembrar que um subespaço deve satisfazer três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: O conjunto deve incluir o vetor .
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também deve estar.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo dele também deve estar.
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 2

Verificando se x = 0 e z = 0 Rightarrow 0 = 5 times 0 Rightarrow 0 = 0 contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos verificar se ele satisfaz a condição :
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em .

Passo 3

Verificando se u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) :
x1 + x2 = 5(z1 + z2)
Sabemos que 5z1 + 5z2 = 5(z1 + z2) Rightarrow 5(z1 + z2) = 5(z1 + z2) e . Agora, vamos somar esses vetores:
Para verificar se está em , precisamos que:
Substituindo e :
A igualdade é verdadeira, então é fechado sob adição.

Passo 4

Verificando se u = (x, y, z) com x = 5z é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em cu = (cx, cy, cz) :
cx = 5(cz)
E um escalar qualquer c times 5z = 5c z Rightarrow 5c z = 5c z . Multiplicamos o vetor pelo escalar:
Para que esteja em , deve ser válido que:
Substituindo :
A igualdade é verdadeira, então é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

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