Verifique que o conjunto
é um subespaço de
com as operações usuais.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, precisamos lembrar que um subespaço deve satisfazer três condições principais:
- Contém o vetor zero: O conjunto deve incluir o vetor
. - Fechado sob adição: Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também deve estar.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo dele também deve estar.
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.
Passo 2
Verificando se
contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos verificar se ele satisfaz a condição
:
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em
.
Passo 3
Verificando se
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
Sabemos que
e
. Agora, vamos somar esses vetores:
Para verificar se
está em
, precisamos que:
Substituindo
e
:
A igualdade é verdadeira, então
é fechado sob adição.
Passo 4
Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
:
E um escalar qualquer
. Multiplicamos o vetor pelo escalar:
Para que
esteja em
, deve ser válido que:
Substituindo
:
A igualdade é verdadeira, então
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.