Verifique que o conjunto é um subespaço de com as operações usuais.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos verificar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, precisamos lembrar que um subespaço deve satisfazer três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: O conjunto deve incluir o vetor .
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também deve estar.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo dele também deve estar.
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 2

Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos verificar se ele satisfaz a condição :
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em .

Passo 3

Verificando se é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em :
Sabemos que e . Agora, vamos somar esses vetores:
Para verificar se está em , precisamos que:
Substituindo e :
A igualdade é verdadeira, então é fechado sob adição.

Passo 4

Verificando se é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em :
E um escalar qualquer . Multiplicamos o vetor pelo escalar:
Para que esteja em , deve ser válido que:
Substituindo :
A igualdade é verdadeira, então é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

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a)
b) .
c) .
d)
e)