Determinar as equações paramétricas da reta interseção dos planos:



Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta que é a interseção de dois planos. Isso envolve um pouco de geometria analítica e álgebra linear. Vamos usar as equações dos planos e os vetores normais para descobrir a direção da reta e um ponto por onde ela passa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a direção da reta de interseção pode ser encontrada fazendo o produto vetorial dos vetores normais dos dois planos. Os vetores normais são e . O produto vetorial desses vetores nos dá um vetor que é perpendicular a ambos, ou seja, paralelo à reta de interseção.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Então, a direção da reta é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um ponto que está na interseção dos dois planos. Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado pelas equações dos planos:
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar o :
Daí, podemos expressar em função de :
Agora, vamos escolher um valor para para facilitar. Vamos deixar , onde é o parâmetro.
Então:
Agora, substituímos e na equação (2) para encontrar :
Multiplicando tudo por 3 para eliminar o denominador:

Passo 5

Agora, temos as expressões para , e em termos do parâmetro . Vamos organizar as equações paramétricas da reta:
Podemos escrever de forma mais compacta:

Resposta

As equações paramétricas da reta interseção dos planos são:
Onde é o parâmetro real.

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