Determinar as equações paramétricas da reta interseção dos planos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta que é a interseção de dois planos. Isso envolve um pouco de geometria analítica e álgebra linear. Vamos usar as equações dos planos e os vetores normais para descobrir a direção da reta e um ponto por onde ela passa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a direção da reta de interseção pode ser encontrada fazendo o produto vetorial dos vetores normais dos dois planos. Os vetores normais são e . O produto vetorial desses vetores nos dá um vetor que é perpendicular a ambos, ou seja, paralelo à reta de interseção.
Agora, precisamos encontrar um ponto que está na interseção dos dois planos. Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado pelas equações dos planos:
2x - y - 3z = 5 (1) x + y - z = 3 (2)
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar o y:
(2x - y - 3z) + (x + y - z) = 5 + 3
3x - 4z = 8
Daí, podemos expressar x em função de z:
3x = 8 + 4z Rightarrow x = 8 + 4z3
Agora, vamos escolher um valor para z para facilitar. Vamos deixar z = t, onde t é o parâmetro.
Então:
x = 8 + 4t3
Agora, substituímos x e z na equação (2) para encontrar y:
8 + 4t3 + y - t = 3
Multiplicando tudo por 3 para eliminar o denominador:
8 + 4t + 3y - 3t = 9
8 + t + 3y = 9
3y = 1 - t Rightarrow y = 1 - t3
Passo 5
Agora, temos as expressões para x, y e z em termos do parâmetro t. Vamos organizar as equações paramétricas da reta:
x = 83 + 43t y = 13 - 13t z = t
Podemos escrever de forma mais compacta:
r(t) = ( 83, 13, 0 ) + t cdot ( 43, -13, 1 )
Resposta
As equações paramétricas da reta interseção dos planos são: