Determinar as equações paramétricas da reta interseção dos planos:
pi1: 2 x-y-3 z-5=0
pi2: x+y-z-3=0
n1=(2,-1,-3)
n2=(1,1,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta que é a interseção de dois planos. Isso envolve um pouco de geometria analítica e álgebra linear. Vamos usar as equações dos planos e os vetores normais para descobrir a direção da reta e um ponto por onde ela passa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a direção da reta de interseção pode ser encontrada fazendo o produto vetorial dos vetores normais dos dois planos. Os vetores normais são n1 = (2, -1, -3) e n2 = (1, 1, -1). O produto vetorial desses vetores nos dá um vetor que é perpendicular a ambos, ou seja, paralelo à reta de interseção.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial n1 times n2:
d = n1 times n2 = i & j & k 2 & -1 & -3 1 & 1 & -1
Calculando o determinante:
d = i((-1)(-1) - (-3)(1)) - j((2)(-1) - (-3)(1)) + k((2)(1) - (-1)(1))
d = i(1 + 3) - j(-2 + 3) + k(2 + 1)
d = 4i - 1j + 3k
Então, a direção da reta é d = (4, -1, 3).

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um ponto que está na interseção dos dois planos. Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado pelas equações dos planos:
2x - y - 3z = 5 (1) x + y - z = 3 (2)
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar o y:
(2x - y - 3z) + (x + y - z) = 5 + 3
3x - 4z = 8
Daí, podemos expressar x em função de z:
3x = 8 + 4z Rightarrow x = 8 + 4z3
Agora, vamos escolher um valor para z para facilitar. Vamos deixar z = t, onde t é o parâmetro.
Então:
x = 8 + 4t3
Agora, substituímos x e z na equação (2) para encontrar y:
8 + 4t3 + y - t = 3
Multiplicando tudo por 3 para eliminar o denominador:
8 + 4t + 3y - 3t = 9
8 + t + 3y = 9
3y = 1 - t Rightarrow y = 1 - t3

Passo 5

Agora, temos as expressões para x, y e z em termos do parâmetro t. Vamos organizar as equações paramétricas da reta:
x = 83 + 43t y = 13 - 13t z = t
Podemos escrever de forma mais compacta:
r(t) = ( 83, 13, 0 ) + t cdot ( 43, -13, 1 )

Resposta

As equações paramétricas da reta interseção dos planos são:
x = 83 + 43t y = 13 - 13t z = t
Onde t é o parâmetro real.

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