Considere a transformação linear T: R^3 longrightarrow R^2, definida por T(x, y, z)=(x+2 y-3 z, 4 x-5 y+6 z) e as bases alpha=(1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1) do R^3 e beta=(1,0),(0,1) do R^2.
Calcule [v]alpha, onde v=(1,-3,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve transformações lineares e mudança de base. Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do vetor na base do espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar v = c1 cdot (1,1,1) + c2 cdot (1,2,3) + c3 cdot (2,-1,1) . Isso significa que queremos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores que formam a base . Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:

Passo 3

Vamos escrever isso de forma mais clara, separando cada componente:
1 = c1 cdot 1 + c2 cdot 1 + c3 cdot 2 -3 = c1 cdot 1 + c2 cdot 2 + c3 cdot (-1) 4 = c1 cdot 1 + c2 cdot 3 + c3 cdot 1

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas. Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de 1 & 1 & 2 1 & 2 & -1 1 & 3 & 1 c1 c2 c3 = 1 -3 4 e .
Primeiro, escrevemos o sistema de forma matricial:

[


]

Passo 5

Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss. Primeiro, subtraímos a primeira equação da segunda e da terceira para eliminar (1) eq 2 - (1) eq 1: :
Para a segunda equação:
(1 - 1)c1 + (2 - 1)c2 + (-1 - 2)c3 = -3 - 1
0c1 + 1c2 - 3c3 = -4
c2 - 3c3 = -4 (Eq 4)
(1) eq 3 - (1) eq 1:
Para a terceira equação:
(1 - 1)c1 + (3 - 1)c2 + (1 - 2)c3 = 4 - 1
0c1 + 2c2 -1c3 = 3
2c2 - c3 = 3 (Eq 5)

Passo 6

Agora, temos um sistema reduzido com duas equações e duas incógnitas:
c2 - 3c3 = -4 (Eq 4) 2c2 - c3 = 3 (Eq 5)
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, resolver a c2 = 3c3 - 4 para :

Passo 7

Substituímos 2(3c3 - 4) - c3 = 3 na 6c3 - 8 - c3 = 3 :
5c3 - 8 = 3
5c3 = 11
c3 = 115

Passo 8

Agora que temos c2 = 3c3 - 4 = 3 ( 115 ) - 4 = 335 - 205 = 135 , vamos encontrar usando a expressão que encontramos na :

Passo 9

Finalmente, substituímos 1 = c1 + c2 + 2c3 e 1 = c1 + 135 + 2 ( 115 ) na primeira equação original para encontrar 1 = c1 + 135 + 225 :
1 = c1 + 355
1 = c1 + 7
c1 = 1 - 7 = -6

Resposta

As coordenadas de [v]alpha = -6 135 115 na base são:

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