Considere a transformação linear , definida por as bases do e do .
Calcule , onde .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve transformações lineares e mudança de base. Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do vetor na base do espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar . Isso significa que queremos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores que formam a base . Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Passo 3
Vamos escrever isso de forma mais clara, separando cada componente:
Passo 4
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas. Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de 1 & 1 & 2 1 & 2 & -1 1 & 3 & 1 c1 c2 c3 = 1 -3 4 e .
Primeiro, escrevemos o sistema de forma matricial:
[
]
Passo 5
Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss. Primeiro, subtraímos a primeira equação da segunda e da terceira para eliminar (1) eq 2 - (1) eq 1: :
Para a segunda equação:
(1 - 1)c1 + (2 - 1)c2 + (-1 - 2)c3 = -3 - 1
0c1 + 1c2 - 3c3 = -4
c2 - 3c3 = -4 (Eq 4)
(1) eq 3 - (1) eq 1:
Para a terceira equação:
(1 - 1)c1 + (3 - 1)c2 + (1 - 2)c3 = 4 - 1
0c1 + 2c2 -1c3 = 3
2c2 - c3 = 3 (Eq 5)
Passo 6
Agora, temos um sistema reduzido com duas equações e duas incógnitas:
c2 - 3c3 = -4 (Eq 4) 2c2 - c3 = 3 (Eq 5)
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, resolver a c2 = 3c3 - 4 para :