Seja v1=(4,-4,2) e v2=(-3,5,7), o que [v1, v2] representa geometricamente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores no espaço tridimensional: e . A pergunta é: o que representa geometricamente? Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de produto vetorial (ou produto cruzado) entre dois vetores. Esse conceito está na matemática, mais especificamente na álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores e resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais. Além disso, a magnitude (tamanho) desse novo vetor é igual à área do paralelogramo formado por e .

Passo 3

Para encontrar v1 times v2 = ( v1yv2z - v1zv2y, v1zv2x - v1xv2z, v1xv2y - v1yv2x ) , que é o produto vetorial de e , usamos a seguinte fórmula:
Onde são as componentes do vetor e são as componentes do vetor .

Passo 4

Vamos aplicar os valores dos vetores na fórmula:
v1 times v2 = ( (-4)(7) - (2)(5), (2)(-3) - (4)(7), (4)(5) - (-4)(-3) )
Calculando cada componente:
  • Primeira componente:
    (-4)(7) - (2)(5) = -28 - 10 = -38
  • Segunda componente:
    (2)(-3) - (4)(7) = -6 - 28 = -34
  • Terceira componente:
    (4)(5) - (-4)(-3) = 20 - 12 = 8

Passo 5

Portanto, o produto vetorial v1 times v2 = (-38, -34, 8) é o vetor:

Resposta

Geometricamente, representa um vetor perpendicular aos vetores e , com componentes , cuja magnitude corresponde à área do paralelogramo formado por e .

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