Seja , onde , com . Esta é uma função polinomial de grau 2 (ou quadrática). Seu gráfico determina uma parábola. O objetivo dessa questão é traçar no mesmo plano cartesiano dois conjuntos de três parábolas. O primeiro conjunto é dado por , e assumindo os seguintes valores: e 4 . O segundo conjunto é dado por e assumindo os seguintes valores: e 2 . Para cada um dos conjuntos descritos, faça o que se pede:
Encontre as raízes e os valores de e para cada uma das funções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre funções quadráticas do tipo . Nosso objetivo é, para dois conjuntos de parábolas, encontrar as raízes (os valores de que fazem ) e os valores de e , que são as coordenadas do vértice da parábola. Para isso, vamos precisar utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes e as fórmulas do vértice das parábolas.

Passo 2

Vamos começar com o Primeiro Conjunto de parábolas, onde , e assume os valores , e . Isso nos dá três funções:
Vamos resolver cada uma delas passo a passo.

Passo 3

Função 1:
Encontrar as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .
Então, as raízes são:
Encontrar o vértice:

Passo 4

Função 2:
Encontrar as raízes:
Quando , a equação tem uma raiz dupla:
Encontrar o vértice:

Passo 5

Função 3:
Encontrar as raízes:
Como , não existem raízes reais para esta função.
Encontrar o vértice:

Passo 6

Agora, vamos para o Segundo Conjunto de parábolas, onde , e assume os valores , e . Isso nos dá três funções:
Vamos resolver cada uma delas.

Passo 7

Função 4:
Encontrar as raízes:
Não existem raízes reais, pois o quadrado de um número não pode ser negativo.
Encontrar o vértice:

Passo 8

Função 5:
Encontrar as raízes:
Encontrar o vértice:

Passo 9

Função 6:
Encontrar as raízes:
Encontrar o vértice:

Resposta

Primeiro Conjunto ( , , ):
    • Raízes: e
    • Vértice:
    • Raíz dupla:
    • Vértice:
    • Sem raízes reais
    • Vértice:
Segundo Conjunto ( , , ):
    • Sem raízes reais
    • Vértice:
    • Raízes: e
    • Vértice:
    • Raízes: e
    • Vértice:

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e ?
Explique por que não é uma função de para .
.
Exercícios 9, 10, 11, 12, 13, 14 da apostila do Douglas.
Resolva as equações abaixo