Determine a área da superfície.
4I. A parte da superfície que está dentro do cilindro
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar a área da superfície definida por que está dentro do cilindro . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a fórmula para calcular a área de uma superfície definida por . A fórmula geral é:
Aqui, é a região no plano sobre a qual a superfície está projetada.
Passo 3
No nosso caso, . Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 4
A região está dentro do cilindro , que é um círculo de raio 1 no plano . Para facilitar a integração, vamos converter para coordenadas polares, onde:
E o elemento de área vira .
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral em coordenadas polares:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , então ou :
Passo 7
Agora, resolvemos a integral externa em relação a :