Determine a área da superfície.
4I. A parte da superfície z = x y que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar a área da superfície definida por que está dentro do cilindro . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula para calcular a área de uma superfície definida por . A fórmula geral é:
Á
Aqui, é a região no plano sobre a qual a superfície está projetada.

Passo 3

No nosso caso, . Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:
Á

Passo 4

A região está dentro do cilindro , que é um círculo de raio 1 no plano . Para facilitar a integração, vamos converter para coordenadas polares, onde:
E o elemento de área vira .

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral em coordenadas polares:
Á

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , então ou :

Passo 7

Agora, resolvemos a integral externa em relação a :

Resposta

A área da superfície é:

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