Uma superfície é formada pelo cilindro , , e por círculos no fundo e no topo. Suponha que você saiba que é uma função contínua com

Estime o valor de usando a soma de Riemann, tomando como retalhos os círculos do fundo e do topo e a lateral dividida em quatro partes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para estimar o valor da integral de superfície de uma função contínua sobre uma superfície . A superfície é formada por um cilindro de equação , com altura entre e , além dos círculos no topo e na base do cilindro. Para resolver isso, vamos usar a soma de Riemann, que é uma maneira de aproximar integrais dividindo a superfície em pequenas partes (retalhos) e somando as contribuições de cada parte. Precisamos identificar as áreas desses retalhos e os valores de nesses pontos para fazer nossa estimativa.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a superfície em retalhos . Temos três partes principais:
  1. Top e Base: Dois círculos, um no topo ( ) e outro na base ( ).
  2. Lateral: A parte curva do cilindro, que vamos dividir em quatro partes iguais para facilitar os cálculos.
Isso nos dá um total de 6 retalhos: 2 para os círculos e 4 para a lateral.

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos onde a função está definida:
  • : Esses são os pontos nos eixos nas bases do cilindro.
  • : Esses são os pontos nos eixos nas bases do cilindro.
  • : Esses são os pontos no topo e na base do cilindro ao longo do eixo .
Vamos usar esses valores como representações para cada retalho.

Passo 4

Vamos calcular a área de cada retalho:
  1. Top e Base: Cada círculo tem área . Como , então .
  2. Lateral: A área lateral de um cilindro é . Com e (de a ), temos . Como dividimos a lateral em 4 partes iguais, cada retalho lateral tem área .

Passo 5

Agora, vamos associar os valores de a cada retalho:
  1. Top e Base:
    • No topo ( ), .
    • Na base ( ), .
  2. Lateral:
    • Em cada uma das 4 partes laterais, vamos usar os valores de nos pontos dados:

Passo 6

Vamos calcular a contribuição de cada retalho multiplicando pela área:
  1. Top e Base:
    • Topo:
    • Base:
  2. Lateral:
    • Cada retalho lateral:
      • Dois com : cada
      • Dois com : cada
    • Soma das laterais:

Resposta

Somando todas as contribuições:
Portanto, a estimativa da integral de superfície é .

Exercícios relacionados

Determine a área da superfície.
4I. A parte da superfície que está dentro do cilindro
Determine a área da superfície.
9. A superfície
Seja o hemisfério , e suponha que seja uma função contínua , e . Dividindo em quatro retalhos, estime o valor de .
Calcule a integral de superfície
7. é a superfície