Uma superfície
é formada pelo cilindro
,
, e por círculos no fundo e no topo. Suponha que você saiba que
é uma função contínua com
Estime o valor de
usando a soma de Riemann, tomando como retalhos
os círculos do fundo e do topo e a lateral dividida em quatro partes.
Estime o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para estimar o valor da integral de superfície de uma função contínua
sobre uma superfície
. A superfície
é formada por um cilindro de equação
, com altura entre
e
, além dos círculos no topo e na base do cilindro. Para resolver isso, vamos usar a soma de Riemann, que é uma maneira de aproximar integrais dividindo a superfície em pequenas partes (retalhos) e somando as contribuições de cada parte. Precisamos identificar as áreas desses retalhos e os valores de
nesses pontos para fazer nossa estimativa.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a superfície
em retalhos
. Temos três partes principais:
- Top e Base: Dois círculos, um no topo (
) e outro na base ( ). - Lateral: A parte curva do cilindro, que vamos dividir em quatro partes iguais para facilitar os cálculos.
Isso nos dá um total de 6 retalhos: 2 para os círculos e 4 para a lateral.
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos onde a função
está definida:
-
: Esses são os pontos nos eixos nas bases do cilindro. -
: Esses são os pontos nos eixos nas bases do cilindro. -
: Esses são os pontos no topo e na base do cilindro ao longo do eixo .
Vamos usar esses valores como representações para cada retalho.
Passo 4
Vamos calcular a área de cada retalho:
- Top e Base: Cada círculo tem área
. Como , então . - Lateral: A área lateral de um cilindro é
. Com e (de a ), temos . Como dividimos a lateral em 4 partes iguais, cada retalho lateral tem área .
Passo 5
Agora, vamos associar os valores de
a cada retalho:
-
Top e Base:
- No topo (
), . - Na base (
), .
- No topo (
-
Lateral:
- Em cada uma das 4 partes laterais, vamos usar os valores de
nos pontos dados: -
- Em cada uma das 4 partes laterais, vamos usar os valores de
Passo 6
Vamos calcular a contribuição de cada retalho multiplicando
pela área:
-
Top e Base:
- Topo:
- Base:
- Topo:
-
Lateral:
- Cada retalho lateral:
- Dois com
: cada - Dois com
: cada
- Dois com
- Soma das laterais:
- Cada retalho lateral:
Resposta
Somando todas as contribuições:
Portanto, a estimativa da integral de superfície é
.
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Determine a área da superfície.
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4I. A parte da superfície
Determine a área da superfície.
9. A superfície
9. A superfície
Seja
o hemisfério
, e suponha que
seja uma função contínua
,
e
. Dividindo
em quatro retalhos, estime o valor de
.
Calcule a integral de superfície
7. é a superfície
7.