Seja . Verdadeiro ou Falso? Justifique sua resposta. e têm os mesmos autovalores.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma questão sobre matrizes quadradas de ordem 2, ou seja, matrizes . A pergunta é: verdadeiro ou falso, as matrizes e sua transposta têm os mesmos autovalores? Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que são autovalores e como a transposição de uma matriz afeta esses autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores. Dados uma matriz quadrada , um autovalor é um número tal que existe um vetor não nulo onde . Para encontrar os autovalores, a gente resolve a equação característica det() = 0, onde é a matriz identidade.
Passo 3
Agora, vamos pensar na matriz transposta . A transposição basicamente troca as linhas pelas colunas, mas não altera os elementos na diagonal principal. Uma propriedade importante aqui é que a matriz e sua transposta têm o mesmo polinômio característico. Isso porque det() = det(), já que a determinação da matriz e da sua transposta é a mesma.
Passo 4
Como o polinômio característico de e são iguais, isso significa que as equações para encontrar os autovalores são as mesmas para ambas as matrizes. Portanto, os autovalores de e de devem ser os mesmos.
Resposta
Verdadeiro. As matrizes e possuem os mesmos autovalores porque compartilham o mesmo polinômio característico.