Seja
. Verdadeiro ou Falso? Justifique sua resposta.
e
têm os mesmos autovalores.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma questão sobre matrizes quadradas de ordem 2, ou seja, matrizes
. A pergunta é: verdadeiro ou falso, as matrizes
e sua transposta
têm os mesmos autovalores? Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que são autovalores e como a transposição de uma matriz afeta esses autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores. Dados uma matriz quadrada
, um autovalor
é um número tal que existe um vetor não nulo
onde
. Para encontrar os autovalores, a gente resolve a equação característica det(
) = 0, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Agora, vamos pensar na matriz transposta
. A transposição basicamente troca as linhas pelas colunas, mas não altera os elementos na diagonal principal. Uma propriedade importante aqui é que a matriz
e sua transposta
têm o mesmo polinômio característico. Isso porque det(
) = det(
), já que a determinação da matriz e da sua transposta é a mesma.
Passo 4
Como o polinômio característico de
e
são iguais, isso significa que as equações para encontrar os autovalores são as mesmas para ambas as matrizes. Portanto, os autovalores de
e de
devem ser os mesmos.
Resposta
Verdadeiro. As matrizes
e
possuem os mesmos autovalores porque compartilham o mesmo polinômio característico.