Em cada item, dê um exemplo de transformação linear que tenha: e como autovetores associados ao autovalor 3 e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! O que a gente tem aqui é que precisamos encontrar uma transformação linear que tenha dois autovetores específicos associados ao autovalor 3, e que uma terceira vetor esteja no núcleo de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de autovetores, autovalores e representar a transformação linear como uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos listar o que sabemos:
(já que está no núcleo)
Esses vetores vão nos ajudar a montar a matriz de .
Passo 3
Vamos construir a matriz de . Sabemos que é uma transformação linear de para , então sua matriz será . Vamos chamar essa matriz de .
Temos que:
Vamos resolver esse sistema para encontrar .
Passo 4
Vamos chamar a matriz de:
Agora, aplicamos as condições:
Passo 5
Agora, vamos resolver o sistema de equações:
Da condição 2:
Da condição 1:
Da condição 3:
Vamos resolver passo a passo:
De e , podemos expressar e .
De e , temos e .
De e , temos e .
Agora, substituímos na condição 1:
→ →
Então, e
→ → → →
Então, e
Voltando a e :
e
Podemos escolher livremente. Vamos escolher para simplificar:
Resposta
A matriz da transformação linear que satisfaz as condições dadas é: