Em cada item, dê um exemplo de transformação linear T que tenha: (1,-1,1) e (1,0,1) como autovetores associados ao autovalor 3 e (0,1,1) in Nuc(T).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! O que a gente tem aqui é que precisamos encontrar uma transformação linear que tenha dois autovetores específicos associados ao autovalor 3, e que uma terceira vetor esteja no núcleo de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de autovetores, autovalores e representar a transformação linear como uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos listar o que sabemos:
  • (já que está no núcleo)
Esses vetores vão nos ajudar a montar a matriz de .

Passo 3

Vamos construir a matriz de 1 -1 1. Sabemos que 1 -1 1 é uma transformação linear de 1 0 1 para 1 0 1, então sua matriz será 0 1 1. Vamos chamar essa matriz de 0 0 0.
Temos que:
Vamos resolver esse sistema para encontrar .

Passo 4

Vamos chamar a matriz A = a & b & c d & e & f g & h & i de:
1 -1 1
Agora, aplicamos as condições:
  1. 3 -3 3
    a(1) + b(-1) + c(1) = 3 d(1) + e(-1) + f(1) = -3 g(1) + h(-1) + i(1) = 3
  2. 1 0 1
    3 0 3
  3. a(1) + b(0) + c(1) = 3 d(1) + e(0) + f(1) = 0 g(1) + h(0) + i(1) = 3
    0 1 1

Passo 5

Agora, vamos resolver o sistema de equações:
Da condição 2:
a + c = 3 d + f = 0 g + i = 3
Da condição 1:
a - b + c = 3 d - e + f = -3 g - h + i = 3
Da condição 3:
b + c = 0 e + f = 0 h + i = 0
Vamos resolver passo a passo:
  • De e , podemos expressar e .
  • De e , temos e .
  • De e , temos e .
Agora, substituímos na condição 1:
  • Então, e
  • Então, e
Voltando a e :
  • e
Podemos escolher livremente. Vamos escolher para simplificar:

Resposta

A matriz da transformação linear A = 3 & 0 & 0 3 & 3 & -3 3 & 0 & 0 que satisfaz as condições dadas é:

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