Seja
. Verdadeiro ou Falso? Justifique sua resposta. Se
é diagonalizável e
é invertível, então
é diagonalizável.
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para determinar se a afirmação “Se
é diagonalizável e
é invertível, então
é diagonalizável” é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de diagonalização e matrizes invertíveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz
é diagonalizável se existe uma matriz invertível
e uma matriz diagonal
tal que:
Isso basicamente transforma
em uma matriz diagonal, o que facilita muitos cálculos.
Passo 3
Agora, se
é invertível, isso significa que existe uma matriz
tal que:
Onde
é a matriz identidade.
Passo 4
Vamos inverter a expressão da diagonalização de
:
Usando a propriedade de inversão de matrizes, temos:
Aqui,
é simplesmente a matriz diagonal com os inversos dos elementos de
na diagonal.
Passo 5
Observe que
está na forma
, que é exatamente a forma de diagonalização. Isso mostra que
também é diagonalizável, pois
é diagonal e
continua sendo a matriz invertível que realiza a diagonalização.
Resposta
Verdadeiro. Se
é diagonalizável e invertível, então sua inversa
também é diagonalizável.