Seja A in M2. Verdadeiro ou Falso? Justifique sua resposta. Se A é diagonalizável e A é invertível, então A^-1 é diagonalizável.

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para determinar se a afirmação “Se é diagonalizável e é invertível, então é diagonalizável” é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de diagonalização e matrizes invertíveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz A = P D P^-1 é diagonalizável se existe uma matriz invertível e uma matriz diagonal tal que:
Isso basicamente transforma em uma matriz diagonal, o que facilita muitos cálculos.

Passo 3

Agora, se A A^-1 = A^-1 A = I é invertível, isso significa que existe uma matriz tal que:
Onde é a matriz identidade.

Passo 4

Vamos inverter a expressão da diagonalização de A^-1 = (P D P^-1)^-1 :
A^-1 = P D^-1 P^-1
Usando a propriedade de inversão de matrizes, temos:
Aqui, é simplesmente a matriz diagonal com os inversos dos elementos de na diagonal.

Passo 5

Observe que está na forma , que é exatamente a forma de diagonalização. Isso mostra que também é diagonalizável, pois é diagonal e continua sendo a matriz invertível que realiza a diagonalização.

Resposta

Verdadeiro. Se é diagonalizável e invertível, então sua inversa também é diagonalizável.

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