Seja a integral
integral subscript R integral integral fraction numerator x minus y over denominator open parentheses x plus y close parentheses squared end fraction d V
em que R é a região delimitada pelas retas x minus y equals 0 ,x minus y equals 4 ,x plus y equals 1 ,x plus y equals 3 , z equals 1 e z equals 4. Considere a transformação u equals x minus y , v equals x plus y , z equals w e determine a escrita da integral nesse novo sistema de variável.
integral subscript R integral integral fraction numerator x minus y over denominator open parentheses x plus y close parentheses squared end fraction d V
em que R é a região delimitada pelas retas x minus y equals 0 ,x minus y equals 4 ,x plus y equals 1 ,x plus y equals 3 , z equals 1 e z equals 4. Considere a transformação u equals x minus y , v equals x plus y , z equals w e determine a escrita da integral nesse novo sistema de variável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente transformar uma integral tripla que está definida numa região $ R $ usando algumas retas que delimitam essa região. A integral original é:
A região $ R $ é delimitada pelas retas $ x - y = 0 $, $ x - y = 4 $, $ x + y = 1 $, $ x + y = 3 $, $ z = 1 $ e $ z = 4 $. A transformação que vamos usar é:
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de mudança de variáveis em integrais múltiplas, que envolve calcular o Jacobiano dessa transformação e determinar os novos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação que foi proposta:
Essa mudança de variável vai nos ajudar a simplificar os limites de integração, já que as restrições na região $ R $ são expressas em termos de $ x - y $ e $ x + y $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é uma matriz que nos ajuda a transformar a diferencial de volume $ dV $ na nova variável. Vamos montar a matriz com as derivadas parciais das variáveis antigas em relação às novas:
Mas primeiro, precisamos expressar $ x $ e $ y $ em termos de $ u $ e $ v $. A partir das equações:
Podemos resolver para $ x $ e $ y $:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Então:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Então, o Jacobiano é:
Calculando o determinante desse Jacobiano:
Então, o fator de escala da mudança de variável é $ \frac{1}{4} $.
Passo 4
Agora, vamos determinar os novos limites de integração na variável $ u, v, w $.
As restrições dadas são:
Então, os novos limites são:
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral original em termos das novas variáveis $ u, v, w $.
A integral original é:
Substituindo $ x - y = u $ e $ x + y = v $, temos:
Aplicando a mudança de variável, a diferencial de volume $ dV $ se transforma em $ |J| , du , dv , dw $, onde $ |J| = \frac{1}{4} $. Portanto:
Onde $ R’ $ é a nova região com os limites de integração que determinamos.
Resposta
A integral no novo sistema de variáveis é: