Enuncie precisamente o Teorema do Anulamento e o Teorema de Weierstrass
Passo 1
Beleza! Então, você quer que eu enuncie de forma precisa o Teorema do Anulamento e o Teorema de Weierstrass. Vamos lá! Primeiro, precisamos entender que esses teoremas estão ligados principalmente à análise matemática e ao estudo de funções. Para resolver isso, vamos revisar cada teorema separadamente, explicando os conceitos por trás deles antes de apresentar as enunciações precisas.
Passo 2
Vamos começar com o Teorema do Anulamento. Esse teorema é fundamental na teoria dos polinômios. Basicamente, ele nos diz que se você tem um polinômio de grau
, ele terá exatamente
raízes (considerando multiplicidades) no conjunto dos números complexos. Isso significa que todo polinômio pode ser “anulado” por suas raízes, ou seja, pode ser fatorado em produto de termos lineares correspondentes às suas raízes.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o Teorema de Weierstrass. Este teorema é crucial na análise complexa e real, especialmente no estudo de funções contínuas e diferenciáveis. O Teorema de Weierstrass da Aproximação diz que qualquer função contínua definida em um intervalo fechado pode ser uniformemente aproximada por polinômios. Isso é super útil porque nos permite aproximar funções complicadas por polinômios mais simples, facilitando cálculos e análises.
Resposta
Teorema do Anulamento:
Todo polinômio não constante com coeficientes complexos possui pelo menos uma raiz no conjunto dos números complexos. Em outras palavras, para todo polinômio
, com
, existe pelo menos um número complexo
tal que
.
Todo polinômio não constante
Teorema de Weierstrass (Teorema da Aproximação):
Dada qualquer função contínua definida em um intervalo fechado
dos números reais e qualquer
, existe um polinômio
tal que, para todo
em
,
Dada qualquer função contínua
Isso significa que
aproxima
de forma arbitrariamente precisa em todo o intervalo
.
Exercícios relacionados
Considere
Decida se
é contínua em
.
Calcule :
Mostre, usando a definição de função contínua, que
é contínua em
.
Seja
um número real. Defina precisamente o símbolo
.