Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos calcular , sendo . O conteúdo que vamos usar aqui é a diagonalização de matrizes, que facilita muito o cálculo de potências de uma matriz. Para isso, vamos precisar encontrar uma matriz diagonal que seja similar à matriz e depois usar essa diagonal para elevar a matriz à oitava potência.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Autovalores são números que, quando multiplicados por certos vetores (autovetores), deixam a direção desses vetores inalterada. Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica de , que é dada por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 3
Vamos calcular a equação característica:
O determinante dessa matriz é:
Expandindo:
Portanto, a equação característica é:
Passo 4
Resolvendo a equação , encontramos os autovalores:
Assim, os autovalores são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para , resolvemos :
Isso nos dá a equação . Podemos escolher , assim . Então, um autovetor para é:
Passo 6
Para , resolvemos :
Isso nos dá . Podemos escolher , então . Um autovetor para é:
Passo 7
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos diagonalizar a matriz . Montamos a matriz com os autovetores como colunas e a matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
A diagonalização é dada por .
Passo 8
Para calcular , usamos a propriedade de que . Primeiro, calculamos , que é simplesmente elevar cada elemento da diagonal de à oitava potência:
Passo 9
Agora, precisamos calcular . A inversa de uma matriz é dada por: