Seja . Ache uma matriz , com todos os elementos distintos, tal que . (observe que não implica ou ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisa encontrar uma matriz de tamanho com todos os elementos diferentes, tal que . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre multiplicação de matrizes e espaços nulos (ou núcleos) de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, quando multiplicamos a matriz pela matriz , o resultado é uma matriz nula (todos os elementos são zero). Para que isso aconteça, cada coluna de precisa estar no espaço nulo de .

Passo 3

Vamos encontrar o espaço nulo de . Resolvendo , onde , temos:
Observamos que a segunda equação é apenas 3 vezes a primeira, então na verdade temos apenas uma equação:

Passo 4

Isso significa que o espaço nulo de é formado por vetores da forma , onde é um escalar real. Ou seja, qualquer coluna de deve ser um múltiplo desse vetor.

Passo 5

Então, podemos escrever a matriz da seguinte maneira:
Aqui, são números que precisamos escolher de forma que todos os elementos de sejam distintos.

Passo 6

Vamos escolher valores diferentes para . Por exemplo, podemos escolher , e . Substituindo esses valores na matriz , temos:

Passo 7

Vamos conferir se . Multiplicando por :
Como esperado, multiplicando por resulta na matriz nula.

Resposta

Uma matriz que satisfaz com todos os elementos distintos é:

Exercícios relacionados

Considere as seguintes matrizes: e
a) Determine e .
b) Determine e .
c) Mostre que as matrizes e comutam (isto é, ) e e não comutam (isto é, ).
Sejam e subespaços gerados do . Determine:
(a) Uma base e a dimensão de .
Considere as matrizes , tal que e , tal que . Determine .
É possível considerar funções como sendo vetores? Em qual contexto?