Seja A=(ll1 & 2 3 & 6). Ache uma matriz B=(bi j)2 times 3, com todos os elementos distintos, tal que A B=0. (observe que A B=0 não implica A=0 ou B=0 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz 1 & 2 3 & 6 e precisa encontrar uma matriz de tamanho com todos os elementos diferentes, tal que . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre multiplicação de matrizes e espaços nulos (ou núcleos) de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, quando multiplicamos a matriz pela matriz , o resultado é uma matriz nula (todos os elementos são zero). Para que isso aconteça, cada coluna de precisa estar no espaço nulo de .

Passo 3

Vamos encontrar o espaço nulo de x1 x2. Resolvendo 1 cdot x1 + 2 cdot x2 = 0 3 cdot x1 + 6 cdot x2 = 0 , onde x1 = -2x2 , temos:
Observamos que a segunda equação é apenas 3 vezes a primeira, então na verdade temos apenas uma equação:

Passo 4

Isso significa que o espaço nulo de -2a a é formado por vetores da forma , onde é um escalar real. Ou seja, qualquer coluna de deve ser um múltiplo desse vetor.

Passo 5

Então, podemos escrever a matriz B = -2a & -2b & -2c a & b & c da seguinte maneira:
Aqui, são números que precisamos escolher de forma que todos os elementos de sejam distintos.

Passo 6

Vamos escolher valores diferentes para B = -2 cdot 1 & -2 cdot 2 & -2 cdot 3 1 & 2 & 3 = -2 & -4 & -6 1 & 2 & 3 . Por exemplo, podemos escolher , e . Substituindo esses valores na matriz , temos:

Passo 7

Vamos conferir se AB = 1 & 2 3 & 6 -2 & -4 & -6 1 & 2 & 3 = 1 cdot (-2) + 2 cdot 1 & 1 cdot (-4) + 2 cdot 2 & 1 cdot (-6) + 2 cdot 3 3 cdot (-2) + 6 cdot 1 & 3 cdot (-4) + 6 cdot 2 & 3 cdot (-6) + 6 cdot 3 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 . Multiplicando por :
Como esperado, multiplicando por resulta na matriz nula.

Resposta

Uma matriz B = -2 & -4 & -6 1 & 2 & 3 que satisfaz com todos os elementos distintos é:

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