Seja
. Ache uma matriz
, com todos os elementos distintos, tal que
. (observe que
não implica
ou
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz
e precisa encontrar uma matriz
de tamanho
com todos os elementos diferentes, tal que
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre multiplicação de matrizes e espaços nulos (ou núcleos) de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, quando multiplicamos a matriz
pela matriz
, o resultado é uma matriz nula (todos os elementos são zero). Para que isso aconteça, cada coluna de
precisa estar no espaço nulo de
.
Passo 3
Vamos encontrar o espaço nulo de
. Resolvendo
, onde
, temos:
Observamos que a segunda equação é apenas 3 vezes a primeira, então na verdade temos apenas uma equação:
Passo 4
Isso significa que o espaço nulo de
é formado por vetores da forma
, onde
é um escalar real. Ou seja, qualquer coluna de
deve ser um múltiplo desse vetor.
Passo 5
Então, podemos escrever a matriz
da seguinte maneira:
Aqui,
são números que precisamos escolher de forma que todos os elementos de
sejam distintos.
Passo 6
Vamos escolher valores diferentes para
. Por exemplo, podemos escolher
,
e
. Substituindo esses valores na matriz
, temos:
Passo 7
Vamos conferir se
. Multiplicando
por
:
Como esperado, multiplicando
por
resulta na matriz nula.
Resposta
Uma matriz
que satisfaz
com todos os elementos distintos é:
Exercícios relacionados
Considere as seguintes matrizes:
e
a) Determine e
.
b) Determine e
.
c) Mostre que as matrizes e
comutam (isto é,
) e
e
não comutam (isto é,
).
a) Determine
b) Determine
c) Mostre que as matrizes
Sejam
e
subespaços gerados do
. Determine:
(a) Uma base e a dimensão de .
(a) Uma base e a dimensão de
Considere as matrizes
, tal que
e
, tal que
. Determine
.
É possível considerar funções como sendo vetores? Em qual contexto?