Considere as seguintes matrizes: A=(cc1 & 2 3 & -4), B=(cc5 & 0 -6 & 7), C=(ccc1 & -3 & 4 2 & 6 & -5), D=(ll1 & 2 3 & 4) e E=(cc5 & 4 6 & 11)
a) Determine 5 A-2 B e 2 A+3 B.
b) Determine A^2=A A e A C.
c) Mostre que as matrizes D e E comutam (isto é, D E=E D ) e A e B não comutam (isto é, A B neq B A ).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos várias matrizes dadas e precisamos realizar algumas operações com elas. Vamos trabalhar com adição e subtração de matrizes, multiplicação de matrizes, e verificar se algumas matrizes comutam (ou seja, se a ordem de multiplicação não altera o resultado). Para resolver isso, vamos precisar lembrar como fazer essas operações básicas com matrizes e entender o que significa comutatividade no contexto de matrizes.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): determinar 5A = 5 times 1 & 2 3 & -4 = 5 times 1 & 5 times 2 5 times 3 & 5 times (-4) = 5 & 10 15 & -20 e 2B = 2 times 5 & 0 -6 & 7 = 2 times 5 & 2 times 0 2 times (-6) & 2 times 7 = 10 & 0 -12 & 14 .
Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar uma matriz por um número (escalar). Quando multiplicamos uma matriz por um escalar, multiplicamos cada elemento da matriz por esse número.
Então, para calcular 5A - 2B = 5 & 10 15 & -20 - 10 & 0 -12 & 14 = 5 - 10 & 10 - 0 15 - (-12) & -20 - 14 = -5 & 10 27 & -34 :
3B = 3 times 5 & 0 -6 & 7 = 3 times 5 & 3 times 0 3 times (-6) & 3 times 7 = 15 & 0 -18 & 21
Agora, para calcular 2A + 3B = 2 times 1 & 2 times 2 2 times 3 & 2 times (-4) + 15 & 0 -18 & 21 = 2 & 4 6 & -8 + 15 & 0 -18 & 21 = 17 & 4 -12 & 13 :
Agora, podemos calcular :
Agora, vamos calcular . Primeiro, calculamos :
Agora, somamos com :

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): determinar A = 1 & 2 3 & -4 e AA = 1 & 2 3 & -4 times 1 & 2 3 & -4 = (1 times 1 + 2 times 3) & (1 times 2 + 2 times (-4)) (3 times 1 + (-4) times 3) & (3 times 2 + (-4) times (-4)) .
Primeiro, vamos calcular AA = 1 + 6 & 2 - 8 3 - 12 & 6 + 16 = 7 & -6 -9 & 22 , que é a multiplicação da matriz C = 1 & -3 & 4 2 & 6 & -5 por ela mesma. Para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira pela coluna da segunda e somamos os resultados.
AC = 1 & 2 3 & -4 times 1 & -3 & 4 2 & 6 & -5 = (1 times 1 + 2 times 2) & (1 times (-3) + 2 times 6) & (1 times 4 + 2 times (-5)) (3 times 1 + (-4) times 2) & (3 times (-3) + (-4) times 6) & (3 times 4 + (-4) times (-5))
Então, AC = 1 + 4 & -3 + 12 & 4 - 10 3 - 8 & -9 - 24 & 12 + 20 = 5 & 9 & -6 -5 & -33 & 32 é:
Calculando cada elemento:
Agora, vamos calcular :
Como é uma matriz e é , a multiplicação será uma matriz .
Calculando cada elemento:

Passo 4

Agora, vamos para a parte c): mostrar que as matrizes D = 1 & 2 3 & 4 , E = 5 & 4 6 & 11 e DE = 1 & 2 3 & 4 times 5 & 4 6 & 11 = (1 times 5 + 2 times 6) & (1 times 4 + 2 times 11) (3 times 5 + 4 times 6) & (3 times 4 + 4 times 11) comutam (ou seja, DE = 5 + 12 & 4 + 22 15 + 24 & 12 + 44 = 17 & 26 39 & 56 ) e que ED = 5 & 4 6 & 11 times 1 & 2 3 & 4 = (5 times 1 + 4 times 3) & (5 times 2 + 4 times 4) (6 times 1 + 11 times 3) & (6 times 2 + 11 times 4) e ED = 5 + 12 & 10 + 16 6 + 33 & 12 + 44 = 17 & 26 39 & 56 não comutam ( A = 1 & 2 3 & -4 , B = 5 & 0 -6 & 7 ).
Primeiro, vamos entender o que significa que duas matrizes comutam. Duas matrizes AB = 1 & 2 3 & -4 times 5 & 0 -6 & 7 = (1 times 5 + 2 times (-6)) & (1 times 0 + 2 times 7) (3 times 5 + (-4) times (-6)) & (3 times 0 + (-4) times 7) e AB = 5 - 12 & 0 + 14 15 + 24 & 0 - 28 = -7 & 14 39 & -28 comutam se a multiplicação deles na ordem BA = 5 & 0 -6 & 7 times 1 & 2 3 & -4 = (5 times 1 + 0 times 3) & (5 times 2 + 0 times (-4)) (-6 times 1 + 7 times 3) & (-6 times 2 + 7 times (-4)) for igual à multiplicação na ordem BA = 5 + 0 & 10 + 0 -6 + 21 & -12 - 28 = 5 & 10 15 & -40 , ou seja, AB = -7 & 14 39 & -28 neq 5 & 10 15 & -40 = BA .
Vamos começar verificando se e comutam.
Calculando :
Agora, calculando :
Vemos que , então e comutam.
Agora, vamos verificar se e comutam. Lembrando que:
Calculando :
Agora, calculando :
Comparando e :
Então, e não comutam.

Resposta

a)
5A - 2B = -5 & 10 27 & -34 , 2A + 3B = 17 & 4 -12 & 13
b)
A^2 = 7 & -6 -9 & 22 , AC = 5 & 9 & -6 -5 & -33 & 32
c)
As matrizes 17 & 26 39 & 56 e comutam porque , enquanto e não comutam já que .

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