Considere as seguintes matrizes:
e
a) Determine
e
.
b) Determine
e
.
c) Mostre que as matrizes
e
comutam (isto é,
) e
e
não comutam (isto é,
).
a) Determine
b) Determine
c) Mostre que as matrizes
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos várias matrizes dadas e precisamos realizar algumas operações com elas. Vamos trabalhar com adição e subtração de matrizes, multiplicação de matrizes, e verificar se algumas matrizes comutam (ou seja, se a ordem de multiplicação não altera o resultado). Para resolver isso, vamos precisar lembrar como fazer essas operações básicas com matrizes e entender o que significa comutatividade no contexto de matrizes.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): determinar
e
.
Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar uma matriz por um número (escalar). Quando multiplicamos uma matriz por um escalar, multiplicamos cada elemento da matriz por esse número.
Então, para calcular
:
Agora, para calcular
:
Agora, podemos calcular
:
Agora, vamos calcular
. Primeiro, calculamos
:
Agora, somamos
com
:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): determinar
e
.
Primeiro, vamos calcular
, que é a multiplicação da matriz
por ela mesma. Para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira pela coluna da segunda e somamos os resultados.
Então,
é:
Calculando cada elemento:
Agora, vamos calcular
:
Como
é uma matriz
e
é
, a multiplicação
será uma matriz
.
Calculando cada elemento:
Passo 4
Agora, vamos para a parte c): mostrar que as matrizes
e
comutam (ou seja,
) e que
e
não comutam (
).
Primeiro, vamos entender o que significa que duas matrizes comutam. Duas matrizes
e
comutam se a multiplicação deles na ordem
for igual à multiplicação na ordem
, ou seja,
.
Vamos começar verificando se
e
comutam.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Vemos que
, então
e
comutam.
Agora, vamos verificar se
e
comutam. Lembrando que:
Calculando
:
Agora, calculando
:
Comparando
e
:
Então,
e
não comutam.
Resposta
a)
b)
c)
As matrizes e
comutam porque
, enquanto
e
não comutam já que
.
As matrizes
Exercícios relacionados
Sejam
e
subespaços gerados do
. Determine:
(a) Uma base e a dimensão de .
(a) Uma base e a dimensão de
Efetuar
Seja
. Ache uma matriz
, com todos os elementos distintos, tal que
. (observe que
não implica
ou
).
Considere as matrizes
, tal que
e
, tal que
. Determine
.