Considere as seguintes matrizes: e
a) Determine e .
b) Determine e .
c) Mostre que as matrizes e comutam (isto é, ) e e não comutam (isto é, ).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos várias matrizes dadas e precisamos realizar algumas operações com elas. Vamos trabalhar com adição e subtração de matrizes, multiplicação de matrizes, e verificar se algumas matrizes comutam (ou seja, se a ordem de multiplicação não altera o resultado). Para resolver isso, vamos precisar lembrar como fazer essas operações básicas com matrizes e entender o que significa comutatividade no contexto de matrizes.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): determinar e .
Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar uma matriz por um número (escalar). Quando multiplicamos uma matriz por um escalar, multiplicamos cada elemento da matriz por esse número.
Então, para calcular :
Agora, para calcular :
Agora, podemos calcular :
Agora, vamos calcular . Primeiro, calculamos :
Agora, somamos com :

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): determinar e .
Primeiro, vamos calcular , que é a multiplicação da matriz por ela mesma. Para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira pela coluna da segunda e somamos os resultados.
Então, é:
Calculando cada elemento:
Agora, vamos calcular :
Como é uma matriz e é , a multiplicação será uma matriz .
Calculando cada elemento:

Passo 4

Agora, vamos para a parte c): mostrar que as matrizes e comutam (ou seja, ) e que e não comutam ( ).
Primeiro, vamos entender o que significa que duas matrizes comutam. Duas matrizes e comutam se a multiplicação deles na ordem for igual à multiplicação na ordem , ou seja, .
Vamos começar verificando se e comutam.
Calculando :
Agora, calculando :
Vemos que , então e comutam.
Agora, vamos verificar se e comutam. Lembrando que:
Calculando :
Agora, calculando :
Comparando e :
Então, e não comutam.

Resposta

a)
b)
c)
As matrizes e comutam porque , enquanto e não comutam já que .

Exercícios relacionados

Sejam e subespaços gerados do . Determine:
(a) Uma base e a dimensão de .
Efetuar
Seja . Ache uma matriz , com todos os elementos distintos, tal que . (observe que não implica ou ).
Considere as matrizes , tal que e , tal que . Determine .