Sejam e subespaços gerados do . Determine:
(a) Uma base e a dimensão de .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços de :
A pergunta é para encontrar uma base e a dimensão de . Para isso, precisamos entender o que é união de subespaços e como encontrar uma base para ela.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que significa a união de dois subespaços, . A união de dois conjuntos inclui todos os elementos que estão em , em , ou em ambos. Porém, é importante notar que, em geral, a união de dois subespaços não é necessariamente um subespaço a menos que um esteja contido no outro.

Passo 3

No nosso caso, vamos verificar se um dos subespaços está contido no outro. Se isso for verdade, a união será simplesmente o subespaço maior. Caso contrário, a união não será um subespaço, e a questão de base e dimensão para a união não se aplica da forma usual.

Passo 4

Vamos examinar os vetores que geram e :
  • Em , temos os vetores e .
  • Em , temos os vetores e .
Vamos ver se todos os vetores de estão em ou vice-versa.

Passo 5

O vetor de não está em porque não há combinação linear dos vetores de que gere . Similarmente, os vetores de não estão em . Portanto, nenhum dos subespaços está contido no outro.

Passo 6

Como nenhum dos subespaços está contido no outro, a união não forma um subespaço linear. Isso significa que não podemos falar em uma base ou dimensão para no contexto de subespaços vetoriais.

Resposta

A união não é um subespaço de , portanto, não é possível determinar uma base e sua dimensão para essa união.

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Efetuar
Um conjunto Linearmente Independente (L.I.) pode conter um subconjunto Linearmente Dependente (L.D.)?
Considere as seguintes matrizes: e
a) Determine e .
b) Determine e .
c) Mostre que as matrizes e comutam (isto é, ) e e não comutam (isto é, ).
Seja . Ache uma matriz , com todos os elementos distintos, tal que . (observe que não implica ou ).