Sejam
e
subespaços gerados do
. Determine:
(a) Uma base e a dimensão de
.
(a) Uma base e a dimensão de
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços de
:
A pergunta é para encontrar uma base e a dimensão de
. Para isso, precisamos entender o que é união de subespaços e como encontrar uma base para ela.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que significa a união de dois subespaços,
. A união de dois conjuntos inclui todos os elementos que estão em
, em
, ou em ambos. Porém, é importante notar que, em geral, a união de dois subespaços não é necessariamente um subespaço a menos que um esteja contido no outro.
Passo 3
No nosso caso, vamos verificar se um dos subespaços está contido no outro. Se isso for verdade, a união será simplesmente o subespaço maior. Caso contrário, a união não será um subespaço, e a questão de base e dimensão para a união não se aplica da forma usual.
Passo 4
Vamos examinar os vetores que geram
e
:
- Em
, temos os vetores e . - Em
, temos os vetores e .
Vamos ver se todos os vetores de
estão em
ou vice-versa.
Passo 5
O vetor
de
não está em
porque não há combinação linear dos vetores de
que gere
. Similarmente, os vetores de
não estão em
. Portanto, nenhum dos subespaços está contido no outro.
Passo 6
Como nenhum dos subespaços está contido no outro, a união
não forma um subespaço linear. Isso significa que não podemos falar em uma base ou dimensão para
no contexto de subespaços vetoriais.
Resposta
A união
não é um subespaço de
, portanto, não é possível determinar uma base e sua dimensão para essa união.