Seja
. Encontrar, em cada caso, uma matriz
de ordem
tal que
i)
.
ii)
.
iii)
.
i)
ii)
iii)
Passo 1
Vamos resolver a primeira parte do exercício. Temos uma matriz
e precisamos encontrar uma matriz
de ordem
que satisfaça a equação
. Vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, como multiplicação de matrizes e propriedades das matrizes inversas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a expressão
. Usando a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes, temos:
Agora, substituímos na equação original:
Passo 3
Para isolar
, subtraímos
de ambos os lados da equação:
Agora, para encontrar
, precisamos multiplicar ambos os lados pela inversa de
. Lembrando que
é a matriz inversa de
, temos:
Como
(onde
é a matriz identidade), simplificamos:
Logo,
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda parte do exercício: encontrar a matriz
que satisfaz a equação
. Continuaremos usando conceitos de álgebra de matrizes, especialmente envolvendo matrizes inversas e operações básicas.
Passo 5
Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar
:
Sabemos que
, então:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, isolamos
adicionando
aos dois lados da equação:
Para encontrar
, precisamos calcular
. Já sabemos que
é:
Agora, calculamos
:
Passo 7
Finalmente, vamos resolver a terceira parte do exercício: encontrar a matriz
que satisfaz a equação
. Essa equação se assemelha à identidade algébrica
, mas aplicado a matrizes.
Passo 8
Vamos expandir o lado esquerdo da equação:
Comparando com o lado direito da equação
, percebemos que os termos
devem ser iguais a zero:
Isso significa que as matrizes
e
devem comutar, ou seja,
.
Passo 9
Além disso, a equação original já está satisfeita se
, então qualquer matriz
que comute com
será uma solução. Uma escolha simples é
, onde
é um escalar e
é a matriz identidade, já que qualquer matriz identidade comuta com
.
Resposta
A matriz
que satisfaz a equação
pode ser qualquer matriz escalar múltiplo da identidade. Ou seja:
onde
é um número real qualquer.