Seja A=(ll1 & 2 3 & 4). Encontrar, em cada caso, uma matriz X de ordem 2 times 2 tal que
i) A(A+X)=A^2-A.
ii) A^-1(X-A)=A+A^2.
iii) (A+X)(A-X)=A^2-X^2.

Passo 1

Vamos resolver a primeira parte do exercício. Temos uma matriz 1 & 2 3 & 4 e precisamos encontrar uma matriz de ordem que satisfaça a equação . Vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, como multiplicação de matrizes e propriedades das matrizes inversas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão A(A + X) = A cdot A + A cdot X = A^2 + A X . Usando a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes, temos:
A^2 + A X = A^2 - A
Agora, substituímos na equação original:

Passo 3

Para isolar A X = -A , subtraímos A^-1 cdot A X = A^-1 cdot (-A) de ambos os lados da equação:
I X = -I
Agora, para encontrar , precisamos multiplicar ambos os lados pela inversa de . Lembrando que é a matriz inversa de , temos:
Como (onde é a matriz identidade), simplificamos:
Logo, .

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda parte do exercício: encontrar a matriz que satisfaz a equação . Continuaremos usando conceitos de álgebra de matrizes, especialmente envolvendo matrizes inversas e operações básicas.

Passo 5

Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por A cdot A^-1(X - A) = A cdot (A + A^2) para eliminar I (X - A) = A^2 + A^3 :
X - A = A^2 + A^3
Sabemos que , então:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, isolamos X = A + A^2 + A^3 adicionando A^2 = A cdot A = 1 & 2 3 & 4 1 & 2 3 & 4 = 7 & 10 15 & 22 aos dois lados da equação:
A^3 = 1 & 2 3 & 4 7 & 10 15 & 22 = 37 & 54 81 & 118
Para encontrar , precisamos calcular . Já sabemos que é:
Agora, calculamos :

Passo 7

Finalmente, vamos resolver a terceira parte do exercício: encontrar a matriz que satisfaz a equação . Essa equação se assemelha à identidade algébrica , mas aplicado a matrizes.

Passo 8

Vamos expandir o lado esquerdo da equação:
(A + X)(A - X) = A cdot A - A cdot X + X cdot A - X cdot X = A^2 - A X + X A - X^2
Comparando com o lado direito da equação -A X + X A = 0 implies A X = X A , percebemos que os termos devem ser iguais a zero:
Isso significa que as matrizes e devem comutar, ou seja, .

Passo 9

Além disso, a equação original já está satisfeita se , então qualquer matriz que comute com será uma solução. Uma escolha simples é , onde é um escalar e é a matriz identidade, já que qualquer matriz identidade comuta com .

Resposta

A matriz X = k I = k & 0 0 & k que satisfaz a equação pode ser qualquer matriz escalar múltiplo da identidade. Ou seja:
onde é um número real qualquer.

Fim

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