Suponha que
é uma matriz não singular tal que
. Mostrar que
, a
-ésima coluna da matriz
, satisfaz
. Encontrar esta matriz
no caso
e achar uma fórmula para calcular
em termos de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz
que é invertível e que, quando a gente faz
, ela vira uma matriz diagonal com
e
na diagonal. O conteúdo que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, especificamente com mudança de base e matrizes diagonais. Para resolver isso, vamos precisar entender de matrizes inversas, multiplicação de matrizes e propriedades de matrizes diagonais.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a
-ésima coluna de
, que a gente chama de
, satisfaz a relação
. Para isso, vamos usar a igualdade que a gente tem:
.
Passo 3
Vamos multiplicar os dois lados da equação por
à direita para isolar
. Ficaria assim:
Simplificando, como
(matriz identidade), temos:
Passo 4
Agora, vamos olhar para a multiplicação de uma matriz
por
. Se
tem colunas
e
, então:
Comparando com o outro lado da igualdade:
Passo 5
Assim, temos que:
Portanto, mostramos que cada coluna de
é um vetor próprio de
, correspondendo aos valores próprios
e
.
Passo 6
Agora, vamos aplicar isso ao caso específico onde:
Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios
e
de
.
Passo 7
Para encontrar os valores próprios, resolvemos o determinante:
Calculando:
Simplificando e resolvendo, encontramos os valores próprios
e
.
Passo 8
Depois de encontrar os valores próprios, encontramos os vetores próprios correspondentes resolvendo
para cada
. Esses vetores formam as colunas da matriz
.
Passo 9
Com a matriz
encontrada, podemos expressar
em termos de
. Como
é diagonal, temos:
Isso facilita o cálculo de potências de
, já que elevamos apenas os valores próprios à potência
.
Resposta
A matriz
foi encontrada a partir dos vetores próprios de
e permite expressar
como
. Portanto,
.