Suponha que P é uma matriz não singular tal que P^-1 A P=(ccd1 & 0 0 & d2). Mostrar que P^[j], a j-ésima coluna da matriz P, satisfaz A P^[j]=dj P^[j]. Encontrar esta matriz P no caso A=16(ll2 & 3 4 & 3) e achar uma fórmula para calcular A^n em termos de P.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz que é invertível e que, quando a gente faz , ela vira uma matriz diagonal com e na diagonal. O conteúdo que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, especificamente com mudança de base e matrizes diagonais. Para resolver isso, vamos precisar entender de matrizes inversas, multiplicação de matrizes e propriedades de matrizes diagonais.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a d1 & 0 0 & d2 -ésima coluna de , que a gente chama de , satisfaz a relação . Para isso, vamos usar a igualdade que a gente tem: .

Passo 3

Vamos multiplicar os dois lados da equação por P^-1 A P cdot P = d1 & 0 0 & d2 P à direita para isolar A P = P d1 & 0 0 & d2 . Ficaria assim:
Simplificando, como (matriz identidade), temos:

Passo 4

Agora, vamos olhar para a multiplicação de uma matriz A P = A P^[1] & P^[2] = A P^[1] & A P^[2] por P d1 & 0 0 & d2 = d1 P^[1] & d2 P^[2] . Se tem colunas e , então:
Comparando com o outro lado da igualdade:

Passo 5

Assim, temos que:
A P^[1] = d1 P^[1] e A P^[2] = d2 P^[2]
Portanto, mostramos que cada coluna de é um vetor próprio de , correspondendo aos valores próprios e .

Passo 6

Agora, vamos aplicar isso ao caso específico onde:
A = 16 2 & 3 4 & 3
Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios e de .

Passo 7

Para encontrar os valores próprios, resolvemos o determinante:
det(A - d I) = 0
Calculando:
det(16 2 - 6d & 3 4 & 3 - 6d ) = (2 - 6d6)(3 - 6d6) - (36)(46) = 0
Simplificando e resolvendo, encontramos os valores próprios e .

Passo 8

Depois de encontrar os valores próprios, encontramos os vetores próprios correspondentes resolvendo para cada . Esses vetores formam as colunas da matriz .

Passo 9

Com a matriz A^n = P d1^n & 0 0 & d2^n P^-1 encontrada, podemos expressar em termos de . Como é diagonal, temos:
Isso facilita o cálculo de potências de , já que elevamos apenas os valores próprios à potência .

Resposta

A matriz d1^n & 0 0 & d2^n foi encontrada a partir dos vetores próprios de d1^n & 0 0 & d2^n e permite expressar como . Portanto, .

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