Seja S=[lla & b c & d] tal que c=a+b e d=a subset M2 times 2(R). O conjunto [rr1 & -1 0 & 1],[ll2 & 1 3 & 4] é uma base de S?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. Temos o conjunto formado por matrizes que seguem as condições e . O que precisamos descobrir é se o conjunto de duas matrizes específicas fornecido forma uma base para . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaço vetorial, subespaço, dependência linear e dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, queremos ver se as duas matrizes dadas são suficientes para gerar qualquer matriz em e se elas não são combinações lineares uma da outra.

Passo 3

Vamos analisar o conjunto a & b a + b & a . Cada matriz em tem a forma:
Aqui, os elementos e são reais que podem variar. Portanto, podemos ver que é um subespaço de com duas dimensões, já que precisamos de dois parâmetros ( e ) para especificar qualquer matriz em .

Passo 4

Agora, vamos verificar se as matrizes dadas formam uma base para A = 1 & -1 0 & 1 e B = 2 & 1 3 & 4 . As matrizes são:
Para que seja uma base de , elas devem ser linearmente independentes e gerar todo o espaço .

Passo 5

Primeiro, vamos checar se e pertencem a . Para :
  • e (confere com )
  • e (confere com )
    Então, .
Para :
  • e (confere com )
  • e (não confere com )
    Portanto, não pertence a .

Passo 6

Já que não pertence a , o conjunto não pode ser uma base para . Para ser uma base, todas as matrizes no conjunto devem pertencer ao subespaço .

Resposta

Não, o conjunto dado não é uma base de porque uma das matrizes não pertence a .

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