Seja
tal que
e
. O conjunto
é uma base de
?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. Temos o conjunto
formado por matrizes
que seguem as condições
e
. O que precisamos descobrir é se o conjunto de duas matrizes específicas fornecido forma uma base para
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaço vetorial, subespaço, dependência linear e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, queremos ver se as duas matrizes dadas são suficientes para gerar qualquer matriz em
e se elas não são combinações lineares uma da outra.
Passo 3
Vamos analisar o conjunto
. Cada matriz em
tem a forma:
Aqui, os elementos
e
são reais que podem variar. Portanto, podemos ver que
é um subespaço de
com duas dimensões, já que precisamos de dois parâmetros (
e
) para especificar qualquer matriz em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se as matrizes dadas formam uma base para
. As matrizes são:
Para que
seja uma base de
, elas devem ser linearmente independentes e gerar todo o espaço
.
Passo 5
Primeiro, vamos checar se
e
pertencem a
. Para
:
-
e (confere com ) -
e (confere com )
Então,.
Para
:
-
e (confere com ) -
e (não confere com )
Portanto,não pertence a .
Passo 6
Já que
não pertence a
, o conjunto
não pode ser uma base para
. Para ser uma base, todas as matrizes no conjunto devem pertencer ao subespaço
.
Resposta
Não, o conjunto dado não é uma base de
porque uma das matrizes não pertence a
.