Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é simultaneamente ortogonal às retas e , nos casos: A é a interseção de e
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto A, que é a interseção das retas e . Além disso, essa reta precisa ser ortogonal (ou seja, perpendicular) às retas e . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a interseção de duas retas e como determinar uma reta perpendicular a outras duas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto A, que é a interseção das retas e . A reta está dada nas suas formas paramétricas:
Podemos parametrizar usando um parâmetro :
Agora, para a reta , temos o sistema de equações:
Podemos parametrizar usando um parâmetro :
Passo 3
Para encontrar o ponto de interseção A, igualamos as equações paramétricas de e :
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .
Passo 4
Da equação (2):
Substituímos esse valor de na equação (1):
Agora, substituímos na equação para :
Passo 5
Agora, substituímos nas equações paramétricas de para encontrar as coordenadas de A:
Então, o ponto A é .
Passo 6
Agora, vamos encontrar a direção da reta que queremos. Como ela precisa ser ortogonal às retas e , seu vetor diretor deve ser perpendicular aos vetores diretores de e .
O vetor diretor de é .
Para , observando as equações paramétricas, podemos ver que o vetor diretor é .
Passo 7
Para encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos e , usamos o produto vetorial:
Calculando o produto vetorial:
d = i(1) - j(5) + k(3)
d = (1, -5, 3)
Passo 8
Agora que temos o ponto A x = 2 + t e o vetor diretor y = -1 - 5t , podemos escrever as equações paramétricas da reta desejada: