Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é simultaneamente ortogonal às retas r1 e r2, nos casos: A é a interseção de r1 e r2
r1: x-2=y+12=z3
e r2:lx=1-y z=2+2 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto A, que é a interseção das retas e . Além disso, essa reta precisa ser ortogonal (ou seja, perpendicular) às retas e . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a interseção de duas retas e como determinar uma reta perpendicular a outras duas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto A, que é a interseção das retas x - 21 = y + 12 = z3 e x = 2 + t . A reta y = -1 + 2t está dada nas suas formas paramétricas:
z = 0 + 3t
Podemos parametrizar x = 1 - y z = 2 + 2y usando um parâmetro y = s :
x = 1 - s
z = 2 + 2s
Agora, para a reta , temos o sistema de equações:
Podemos parametrizar usando um parâmetro :

Passo 3

Para encontrar o ponto de interseção A, igualamos as equações paramétricas de 2 + t = 1 - s (1) e -1 + 2t = s (2) :
3t = 2 + 2s (3)
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .

Passo 4

Da equação (2):
s = -1 + 2t
Substituímos esse valor de 2 + t = 1 - (-1 + 2t) na equação (1):
2 + t = 1 + 1 - 2t
2 + t = 2 - 2t
t + 2t = 2 - 2
3t = 0 Rightarrow t = 0
s = -1 + 2(0) = -1
Agora, substituímos na equação para :

Passo 5

Agora, substituímos x = 2 + 0 = 2 nas equações paramétricas de y = -1 + 2(0) = -1 para encontrar as coordenadas de A:
z = 0 + 3(0) = 0
Então, o ponto A é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a direção da reta que queremos. Como ela precisa ser ortogonal às retas e , seu vetor diretor deve ser perpendicular aos vetores diretores de e .
O vetor diretor de é .
Para , observando as equações paramétricas, podemos ver que o vetor diretor é .

Passo 7

Para encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos d = u times v e d = i & j & k 1 & 2 & 3 -1 & 1 & 2 , usamos o produto vetorial:
d = i(2 cdot 2 - 3 cdot 1) - j(1 cdot 2 - 3 cdot (-1)) + k(1 cdot 1 - 2 cdot (-1))
Calculando o produto vetorial:
d = i(4 - 3) - j(2 + 3) + k(1 + 2)
d = i(1) - j(5) + k(3)
d = (1, -5, 3)

Passo 8

Agora que temos o ponto A x = 2 + t e o vetor diretor y = -1 - 5t , podemos escrever as equações paramétricas da reta desejada:
z = 0 + 3t

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
boxed x = 2 + t y = -1 - 5t z = 3t

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