Mostre que [ll1 & 0 0 & 0],[ll0 & 1 0 & 0],[ll0 & 0 1 & 0],[ll0 & 0 0 & 1] é uma base de M2 x 2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que um conjunto de quatro matrizes específicas forma uma base para todo o espaço das matrizes com números reais, que a gente chama de . Isso significa que essas matrizes precisam ser lineares e ainda conseguir gerar qualquer matriz por combinação linear delas. Para isso, vamos precisar entender sobre base, linearidade e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base para um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, os “vetores” são as matrizes. E como tem dimensão 4 (porque tem 4 entradas), precisamos de 4 matrizes que não sejam combinações umas das outras e que possam construir qualquer outra matriz usando elas.

Passo 3

Vamos dar uma olhada nas matrizes que foram passadas:
E1 = 1 & 0 0 & 0, E2 = 0 & 1 0 & 0, E3 = 0 & 0 1 & 0, E4 = 0 & 0 0 & 1
Essas matrizes são chamadas de matrizes canônicas porque cada uma tem um ‘1’ em uma posição diferente e ‘0’ nas demais. Vamos ver se elas são suficientes para formar qualquer matriz .

Passo 4

Para mostrar que elas geram todo o espaço, vamos pegar uma matriz genérica A = a & b c & d :
A = x1 E1 + x2 E2 + x3 E3 + x4 E4
E tentar escrever x1 1 & 0 0 & 0 + x2 0 & 1 0 & 0 + x3 0 & 0 1 & 0 + x4 0 & 0 0 & 1 = x1 & x2 x3 & x4 como uma combinação linear das . Isso significa encontrar escalares tais que:
Vamos fazer as contas:

Passo 5

Comparando com a matriz x1 = a, x2 = b, x3 = c, x4 = d , temos que:
Ou seja, para qualquer , conseguimos encontrar que satisfazem a igualdade. Isso mostra que qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear das . Portanto, as geram .

Passo 6

Agora, vamos verificar se as matrizes x1 E1 + x2 E2 + x3 E3 + x4 E4 = 0 & 0 0 & 0 são linearmente independentes. Para isso, assumimos que:
x1 & x2 x3 & x4 = 0 & 0 0 & 0
Isso implica que:
x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0
O que nos dá as equações:
A única solução é , o que significa que não há combinação não-trivial das que resulte na matriz nula. Assim, as são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, o conjunto de matrizes é uma base para .

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