Mostre que
é uma base de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que um conjunto de quatro matrizes
específicas forma uma base para todo o espaço das matrizes
com números reais, que a gente chama de
. Isso significa que essas matrizes precisam ser lineares e ainda conseguir gerar qualquer matriz
por combinação linear delas. Para isso, vamos precisar entender sobre base, linearidade e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base para um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, os “vetores” são as matrizes. E como
tem dimensão 4 (porque tem 4 entradas), precisamos de 4 matrizes que não sejam combinações umas das outras e que possam construir qualquer outra matriz
usando elas.
Passo 3
Vamos dar uma olhada nas matrizes que foram passadas:
Essas matrizes são chamadas de matrizes canônicas porque cada uma tem um ‘1’ em uma posição diferente e ‘0’ nas demais. Vamos ver se elas são suficientes para formar qualquer matriz
.
Passo 4
Para mostrar que elas geram todo o espaço, vamos pegar uma matriz genérica
:
E tentar escrever
como uma combinação linear das
. Isso significa encontrar escalares
tais que:
Vamos fazer as contas:
Passo 5
Comparando com a matriz
, temos que:
Ou seja, para qualquer
, conseguimos encontrar
que satisfazem a igualdade. Isso mostra que qualquer matriz
pode ser escrita como uma combinação linear das
. Portanto, as
geram
.
Passo 6
Agora, vamos verificar se as matrizes
são linearmente independentes. Para isso, assumimos que:
Isso implica que:
O que nos dá as equações:
A única solução é
, o que significa que não há combinação não-trivial das
que resulte na matriz nula. Assim, as
são linearmente independentes.
Resposta
Portanto, o conjunto de matrizes
é uma base para
.