Dê exemplo das seguintes situações:
(e) Uma função descontínua em
, mas que o seu módulo seja contínuo em
.
(e) Uma função descontínua em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dar um exemplo de uma função que é descontínua em
, mas que o módulo dessa função é contínuo nesse ponto. A matéria aqui é análise de funções, especificamente sobre continuidade e descontinuidade. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser descontínua e como o módulo pode influenciar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras” ou “saltos” ali. Já uma função descontínua tem alguma interrupção nesse ponto. Agora, o módulo de uma função,
, transforma todos os valores de saída em números não negativos.
Passo 3
Para criar um exemplo, precisamos que a função
tenha um salto em
, mas que esse salto não afete o valor absoluto. Uma maneira de fazer isso é fazer a função pular de um valor negativo para o mesmo valor positivo. Assim, ao aplicar o módulo, o salto desaparece porque
.
Passo 4
Vamos definir nossa função
da seguinte forma:
Aqui,
é igual a -2 apenas em
e igual a 2 em todos os outros pontos.
Passo 5
Agora, vamos analisar a continuidade de
em
. Vemos que há um salto de -2 para 2, então
é descontínua nesse ponto. Mas e quanto ao módulo?
Passo 6
Calculando o módulo de
:
Perceba que
é sempre 2, independentemente de
ser 3 ou não.
Passo 7
Como
não tem saltos e é igual em todos os pontos, incluindo
, ela é contínua nesse ponto.
Resposta
Um exemplo é a função definida por
Essa função é descontínua em
, mas seu módulo
é contínuo em
.