Dê exemplo das seguintes situações:
(e) Uma função descontínua em x = 3, mas que o seu módulo seja contínuo em x = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dar um exemplo de uma função que é descontínua em , mas que o módulo dessa função é contínuo nesse ponto. A matéria aqui é análise de funções, especificamente sobre continuidade e descontinuidade. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser descontínua e como o módulo pode influenciar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras” ou “saltos” ali. Já uma função descontínua tem alguma interrupção nesse ponto. Agora, o módulo de uma função, , transforma todos os valores de saída em números não negativos.

Passo 3

Para criar um exemplo, precisamos que a função tenha um salto em , mas que esse salto não afete o valor absoluto. Uma maneira de fazer isso é fazer a função pular de um valor negativo para o mesmo valor positivo. Assim, ao aplicar o módulo, o salto desaparece porque .

Passo 4

Vamos definir nossa função da seguinte forma:
á
Aqui, é igual a -2 apenas em e igual a 2 em todos os outros pontos.

Passo 5

Agora, vamos analisar a continuidade de em . Vemos que há um salto de -2 para 2, então é descontínua nesse ponto. Mas e quanto ao módulo?

Passo 6

Calculando o módulo de :
á
Perceba que é sempre 2, independentemente de ser 3 ou não.

Passo 7

Como não tem saltos e é igual em todos os pontos, incluindo , ela é contínua nesse ponto.

Resposta

Um exemplo é a função definida por
á
Essa função é descontínua em , mas seu módulo é contínuo em .

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