Seja o mesmo lote de 12 itens visto em aula, dos quais 4 são defeitusos e 8 são perfeitos (não-defeituosos). Suponha que, por distração, a cada item extraído, verifica-se se o mesmo é perfeito ou defeituoso e, logo após, ele é devolvido ao lote. Ou seja, temos extrações uma a uma e com reposição. Neste contexto, seja a variável aleatória X: número de registros de itens defeituosos em três extrações.
b) Obtenha o valor esperado de X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um lote com 12 itens, sendo 4 defeituosos e 8 perfeitos. A ideia é fazer 3 extrações, uma de cada vez, sempre devolvendo o item ao lote depois de verificar se ele é perfeito ou defeituoso. Queremos descobrir qual é o valor esperado da variável aleatória $ X $, que representa o número de itens defeituosos registrados nessas três extrações. Para isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade e variáveis aleatórias, especificamente o valor esperado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as probabilidades envolvidas. Como há 4 itens defeituosos e 8 perfeitos num total de 12, a probabilidade de, em uma extração, tirar um item defeituoso é:
P(defeituoso) = 412 = 13
E a probabilidade de tirar um item perfeito é:
P(perfeito) = 812 = 23

Passo 3

Como as extrações são feitas com reposição, cada extração é independente das anteriores. Isso significa que a probabilidade de tirar um item defeituoso ou perfeito é sempre a mesma em cada tentativa.

Passo 4

A variável aleatória $ X $ representa o número de itens defeituosos em 3 extrações. Como cada extração é independente e tem a mesma probabilidade de sucesso (tirar um defeituoso), $ X $ segue uma distribuição binomial. A distribuição binomial é usada quando temos:
  • Número fixo de tentativas (n)
  • Cada tentativa tem dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso)
  • As tentativas são independentes
  • A probabilidade de sucesso é constante em cada tentativa
No nosso caso, $ n = 3 $ e $ p = \frac{1}{3} $.

Passo 5

O valor esperado $ E(X) $ de uma distribuição binomial é dado pela fórmula:
E(X)
Substituindo os valores que temos:
E(X) = n times p

Resposta

O valor esperado de $ X $ é 1.

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