Seja o mesmo lote de 12 itens visto em aula, dos quais 4 são defeitusos e 8 são perfeitos (não-defeituosos). Suponha que, por distração, a cada item extraído, verifica-se se o mesmo é perfeito ou defeituoso e, logo após, ele é devolvido ao lote. Ou seja, temos extrações uma a uma e com reposição. Neste contexto, seja a variável aleatória
: número de registros de itens defeituosos em três extrações.
b) Obtenha o valor esperado de
.
b) Obtenha o valor esperado de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um lote com 12 itens, sendo 4 defeituosos e 8 perfeitos. A ideia é fazer 3 extrações, uma de cada vez, sempre devolvendo o item ao lote depois de verificar se ele é perfeito ou defeituoso. Queremos descobrir qual é o valor esperado da variável aleatória $ X $, que representa o número de itens defeituosos registrados nessas três extrações. Para isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade e variáveis aleatórias, especificamente o valor esperado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as probabilidades envolvidas. Como há 4 itens defeituosos e 8 perfeitos num total de 12, a probabilidade de, em uma extração, tirar um item defeituoso é:
E a probabilidade de tirar um item perfeito é:
Passo 3
Como as extrações são feitas com reposição, cada extração é independente das anteriores. Isso significa que a probabilidade de tirar um item defeituoso ou perfeito é sempre a mesma em cada tentativa.
Passo 4
A variável aleatória $ X $ representa o número de itens defeituosos em 3 extrações. Como cada extração é independente e tem a mesma probabilidade de sucesso (tirar um defeituoso), $ X $ segue uma distribuição binomial. A distribuição binomial é usada quando temos:
- Número fixo de tentativas (n)
- Cada tentativa tem dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso)
- As tentativas são independentes
- A probabilidade de sucesso é constante em cada tentativa
No nosso caso, $ n = 3 $ e $ p = \frac{1}{3} $.
Passo 5
O valor esperado $ E(X) $ de uma distribuição binomial é dado pela fórmula:
Substituindo os valores que temos:
Resposta
O valor esperado de $ X $ é 1.