Seja X uma variável aleatória com função de distribuição acumulada dada por
FX(x)=cl 0, & se x<2 0,30 & , se 2 <= x<4 0,45 & , se 4 <= x<6 0,65 & , se 6 <= x<8 1 & , se x >= 8
c) Qual o valor esperado de X?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com uma função de distribuição acumulada $ F_X(x) $. O objetivo aqui é achar o valor esperado de $ X $, que é basicamente a média ponderada dos possíveis valores que $ X $ pode assumir. Para resolver isso, vamos precisar entender como a distribuição acumulada funciona e como extrair as probabilidades de cada valor de $ X $.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função de distribuição acumulada $ F_X(x) $ que foi dada:
FX(x)
A função de distribuição acumulada $ F_X(x) $ nos dá a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor $ x $. Observando os intervalos, percebemos que $ X $ assume valores discretos nos pontos onde a função $ F_X(x) $ “salta”. Esses pontos são $ x = 2, 4, 6, 8 $.

Passo 3

Agora, vamos determinar as probabilidades correspondentes a cada valor que $ X $ pode assumir. Para isso, calculamos a diferença entre os valores de $ F_X(x) $ nos pontos desses saltos:
  • Para $ X = 2 $:
X
  • Para $ X = 4 $:
FX(x)
  • Para $ X = 6 $:
X = 2
  • Para $ X = 8 $:
P(X = 2) = FX(2) - FX(antes de 2) = 0,30 - 0 = 0,30
Agora temos todas as probabilidades:
X = 4

Passo 4

Com as probabilidades em mãos, vamos calcular o valor esperado $ E[X] $ usando a fórmula:
E[X]
Substituindo os valores:
E[X] = sumi xi cdot P(X = xi)

Resposta

O valor esperado de $ X $ é 5,20.

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