Em um espaço
discreto, todo subconjunto
é fechado.
Passo 1
No enunciado, temos que em um espaço discreto
, todo subconjunto
é fechado. Vamos utilizar conceitos de topologia, especificamente sobre espaços métricos discretos e conjuntos fechados, para provar essa afirmação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um espaço métrico discreto. Um espaço métrico
é chamado discreto se a métrica
satisfaz que para quaisquer dois pontos distintos
, a distância entre eles é sempre a mesma, geralmente definida como
se
, e
. Ou seja:
Nesse espaço, cada ponto está isolado dos demais, criando uma estrutura “discreta”.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é um conjunto fechado em um espaço métrico. Um conjunto
é fechado se seu complemento
é um conjunto aberto. Em termos de vizinhanças, isso significa que para todo ponto
, existe um raio
tal que a bola aberta
não intersecta
.
Passo 4
Em um espaço métrico discreto, observe que para qualquer ponto
, a bola aberta com raio
é simplesmente o próprio ponto, ou seja,
. Isso ocorre porque qualquer ponto distinto está a uma distância de 1, que é maior que
.
Passo 5
Vamos mostrar que todo subconjunto
é fechado. Tome qualquer ponto
. A bola aberta
não contém nenhum ponto de
, já que
e as outras bolas abertas não intersectam
. Portanto, o complemento
é aberto, o que implica que
é fechado.
Resposta
Em um espaço métrico discreto
, todo subconjunto
é fechado.