Em um espaço M, d discreto, todo subconjunto F ⊆ M é fechado.

Passo 1

No enunciado, temos que em um espaço discreto M, d, todo subconjunto F ⊆ M é fechado. Vamos utilizar conceitos de topologia, especificamente sobre espaços métricos discretos e conjuntos fechados, para provar essa afirmação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um espaço métrico discreto. Um espaço métrico M, d é chamado discreto se a métrica d satisfaz que para quaisquer dois pontos distintos , a distância entre eles é sempre a mesma, geralmente definida como se x != y, e . Ou seja:
Nesse espaço, cada ponto está isolado dos demais, criando uma estrutura “discreta”.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é um conjunto fechado em um espaço métrico. Um conjunto F ⊆ M é fechado se seu complemento é um conjunto aberto. Em termos de vizinhanças, isso significa que para todo ponto , existe um raio tal que a bola aberta não intersecta F.

Passo 4

Em um espaço métrico discreto, observe que para qualquer ponto x in M, a bola aberta com raio é simplesmente o próprio ponto, ou seja, . Isso ocorre porque qualquer ponto distinto está a uma distância de 1, que é maior que 1/2.

Passo 5

Vamos mostrar que todo subconjunto F ⊆ M é fechado. Tome qualquer ponto . A bola aberta não contém nenhum ponto de F, já que e as outras bolas abertas não intersectam F. Portanto, o complemento é aberto, o que implica que F é fechado.

Resposta

Em um espaço métrico discreto M, d, todo subconjunto F ⊆ M é fechado.

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