Seja T: R^3 R^3 um operador linear definido por
T(1,0,0)=(1,0,0) T(0,1,0)=(0,1,0). Determine o operador inverso T^-1(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear definido por e . Nosso objetivo aqui é encontrar o operador inverso . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes de transformação e operadores lineares. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um operador linear ser invertível. Um operador linear tem um inverso se e somente se for bijetivo, ou seja, injetivo e sobrejetivo. Na prática, isso significa que a matriz associada a deve ser invertível, ou seja, ter determinante diferente de zero.

Passo 3

Agora, vamos representar o operador A = 1 & 0 & a 0 & 1 & b 0 & 0 & c como uma matriz. Sabemos que A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 e . Como é linear, podemos escrever a matriz de da seguinte forma:
Aqui, , , e são números que ainda precisamos determinar. Mas, como não foi definido em , vamos assumir que para simplificar. Assim, a matriz fica:
Isso significa que é a matriz identidade, que não muda os vetores.

Passo 4

Agora, para encontrar o inverso A^-1 = A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , vamos usar o fato de que a inversa de uma matriz identidade é ela mesma. Ou seja:
Portanto, o operador inverso vai agir da mesma forma que , já que é a identidade.

Resposta

O operador inverso é dado por .

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