Seja um operador linear definido por . Determine o operador inverso .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear definido por e . Nosso objetivo aqui é encontrar o operador inverso . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes de transformação e operadores lineares. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um operador linear ser invertível. Um operador linear tem um inverso se e somente se for bijetivo, ou seja, injetivo e sobrejetivo. Na prática, isso significa que a matriz associada a deve ser invertível, ou seja, ter determinante diferente de zero.
Passo 3
Agora, vamos representar o operador como uma matriz. Sabemos que e . Como é linear, podemos escrever a matriz de da seguinte forma:
Aqui, , , e são números que ainda precisamos determinar. Mas, como não foi definido em , vamos assumir que para simplificar. Assim, a matriz fica:
Isso significa que é a matriz identidade, que não muda os vetores.
Passo 4
Agora, para encontrar o inverso A^-1 = A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , vamos usar o fato de que a inversa de uma matriz identidade é ela mesma. Ou seja:
Portanto, o operador inverso vai agir da mesma forma que , já que é a identidade.