Então, a gente tem um exercício sobre transformações lineares no plano . Especificamente, duas transformações são dadas:
Rotação (): Gira qualquer ponto em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 60 graus.
Projeção (): Projeta qualquer ponto sobre o eixo .
O que precisamos fazer é encontrar a matriz que representa a composição dessas duas transformações, ou seja, aplicar primeiro a projeção e depois a rotação . Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são representadas as matrizes para cada transformação.
Matriz da Rotação ():
Para girar um ponto no plano por um ângulo , a matriz de rotação é:
Aqui, , então:
Substituindo esses valores na matriz de rotação, temos:
Passo 3
Matriz da Projeção ():
A projeção de qualquer ponto sobre o eixo basicamente ignora a coordenada e mantém a coordenada . A matriz dessa projeção é:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a matriz da transformação composta , que significa primeiro aplicar e depois . Para isso, multiplicamos as matrizes na ordem :
Passo 5
Vamos fazer a multiplicação das matrizes:
Simplificando cada entrada:
Primeiro elemento (1,1): 0 + 0 = 0
Primeiro elemento (1,2): 0 - raiz32 = -raiz32
Segundo elemento (2,1): 0 + 0 = 0
Segundo elemento (2,2): 0 + 12 = 12
Então, a matriz resultante é:
RT = 0 & -raiz32 0 & 12
Resposta
A matriz que representa a transformação linear RT é: