Considere em R^2 duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 60 graus e uma projeção T sobre o eixo y. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) [rr0 & 0 raiz32 & 12]
(B) [rr-12 & raiz32 raiz32 & 12]
© [rr12 & 0 raiz32 & 0]
(D) [rr12 & -raiz32 0 & 0]
(E) [rr12 & -raiz32 -raiz32 & -12]
(F) [rr-12 & -raiz32 -raiz32 & 12]
(G) [rr0 & -raiz32 0 & 12]
(H) [rr12 & raiz32 raiz32 & -12]
(I) Não sei

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre transformações lineares no plano R^2. Especificamente, duas transformações são dadas:
  1. Rotação ( R): Gira qualquer ponto em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 60 graus.
  2. Projeção ( T): Projeta qualquer ponto sobre o eixo y.
O que precisamos fazer é encontrar a matriz que representa a composição dessas duas transformações, ou seja, aplicar primeiro a projeção T e depois a rotação R. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são representadas as matrizes para cada transformação.
  • Matriz da Rotação ( R):
    Para girar um ponto no plano R^2 por um ângulo theta, a matriz de rotação é:
    R = costheta & -sintheta sintheta & costheta
    Aqui, theta = 60^circ, então:
    cos 60^circ = 12 e sin 60^circ = raiz32
    Substituindo esses valores na matriz de rotação, temos:
    R = 12 & -raiz32 raiz32 & 12

Passo 3

  • Matriz da Projeção ( T):
    A projeção de qualquer ponto sobre o eixo y basicamente ignora a coordenada x e mantém a coordenada y. A matriz dessa projeção é:
    T = 0 & 0 0 & 1

Passo 4

Agora, queremos encontrar a matriz da transformação composta RT, que significa primeiro aplicar T e depois R. Para isso, multiplicamos as matrizes na ordem R cdot T:
RT = R cdot T = 12 & -raiz32 raiz32 & 12 cdot 0 & 0 0 & 1

Passo 5

Vamos fazer a multiplicação das matrizes:
RT = 12 cdot 0 + (-raiz32) cdot 0 & 12 cdot 0 + (-raiz32) cdot 1 raiz32 cdot 0 + 12 cdot 0 & raiz32 cdot 0 + 12 cdot 1
Simplificando cada entrada:
  • Primeiro elemento (1,1): 0 + 0 = 0
  • Primeiro elemento (1,2): 0 - raiz32 = -raiz32
  • Segundo elemento (2,1): 0 + 0 = 0
  • Segundo elemento (2,2): 0 + 12 = 12
Então, a matriz resultante é:
RT = 0 & -raiz32 0 & 12

Resposta

A matriz que representa a transformação linear RT é:
[rr0 & -raiz32 0 & 12]
Logo, a alternativa correta é a letra (G).

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