Seja a matriz
e considere o sistema
. Escolher um
no intervalo
, encontre a solução geral
e calcule o limite quando
. Dica: encontrar os autovalores em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre sistemas de equações diferenciais. Temos uma matriz
e queremos encontrar a solução geral do sistema
onde
está no intervalo
. Para isso, vamos precisar calcular os autovalores da matriz
, que nos ajudam a entender o comportamento do sistema ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Autovalores são números que nos dizem como as soluções do sistema vão crescer ou decrescer com o tempo. Para isso, usamos a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores. Calculando:
Então, o determinante é:
Essa é a nossa equação característica:
.
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática para encontrar os autovalores
:
Note que o discriminante
é negativo porque
está entre
e
, então teremos autovalores complexos conjugados. Isso indica que a solução do sistema terá termos oscilatórios.
Passo 4
Com os autovalores encontrados, a solução geral do sistema é da forma:
Aqui,
e
são constantes que dependem das condições iniciais, e os termos seno e cosseno representam as oscilações do sistema.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende a infinito. Observando a solução geral, temos o fator exponencial
. Como
está entre
e
,
é negativo. Isso faz com que
tende a zero à medida que
cresce.
Portanto, independentemente das oscilações, o sistema tende ao ponto de equilíbrio.
Resposta
A solução geral do sistema é dada por
E o limite quando
é
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c) (1,5 ponto) A convolução é um produto.
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Use o Teorema de Stokes para calcular
. Em cada caso,
é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
é a circunferência
Resolva a inequação
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