Seja a matriz e considere o sistema . Escolher um no intervalo , encontre a solução geral e calcule o limite quando . Dica: encontrar os autovalores em função de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre sistemas de equações diferenciais. Temos uma matriz e queremos encontrar a solução geral do sistema onde está no intervalo . Para isso, vamos precisar calcular os autovalores da matriz , que nos ajudam a entender o comportamento do sistema ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Autovalores são números que nos dizem como as soluções do sistema vão crescer ou decrescer com o tempo. Para isso, usamos a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Calculando:
Então, o determinante é:
Essa é a nossa equação característica: .

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática para encontrar os autovalores :
Note que o discriminante é negativo porque está entre e , então teremos autovalores complexos conjugados. Isso indica que a solução do sistema terá termos oscilatórios.

Passo 4

Com os autovalores encontrados, a solução geral do sistema é da forma:
Aqui, e são constantes que dependem das condições iniciais, e os termos seno e cosseno representam as oscilações do sistema.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de quando tende a infinito. Observando a solução geral, temos o fator exponencial . Como está entre e , é negativo. Isso faz com que tende a zero à medida que cresce.
Portanto, independentemente das oscilações, o sistema tende ao ponto de equilíbrio.

Resposta

A solução geral do sistema é dada por
E o limite quando é

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