Seja
uma matriz de ordem
. Fixe uma base
. Mostre que
define um produto interno em
se, e somente se:
a) A é positiva definida, isto é qualquer matriz coluna
de ordem
por 1, tem-se
-
(isto é,
é uma matriz simétrica).
(OBS: Aqui, a notação
indica a matriz transposta de
).
a) A é positiva definida, isto é qualquer matriz coluna
(OBS: Aqui, a notação
Passo 1
Ok, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos uma matriz
de ordem
e uma base
de
. A tarefa é mostrar que a expressão
define um produto interno em
se e somente se a matriz
for positiva definida e simétrica. Para isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e o que significa uma matriz ser positiva definida e simétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno em
é uma função que associa dois vetores a um número real, satisfazendo quatro propriedades básicas:
- Simetria:
- Linearidade:
para escalares - Positividade:
para todo - Definido positivo:
se e somente se
Vamos verificar se a expressão dada satisfaz essas propriedades, supondo que
seja simétrica e positiva definida.
Passo 3
Simetria: Precisamos mostrar que
. Calculando:
Como
é simétrica (
), temos:
Portanto, a simetria está garantida.
Passo 4
Linearidade: Vamos verificar a linearidade em relação ao primeiro argumento. Seja
um escalar e
um vetor:
Como as coordenadas são lineares:
Assim, a linearidade está satisfeita.
Passo 5
Positividade e Definido Positivo: Precisamos mostrar que
e que
apenas se
.
Calculando:
Já que
é positiva definida, para qualquer vetor
(aqui
):
E
se e somente se
, ou seja, se
.
Resposta
Assim, mostramos que a expressão
define um produto interno em
se e somente se a matriz
for simétrica (
) e positiva definida.