Seja A uma matriz de ordem n. Fixe uma base beta subset R^n. Mostre que
lang<= u, vrang<=:=([u]beta)^t A[v]beta
define um produto interno em R^n se, e somente se:
a) A é positiva definida, isto é qualquer matriz coluna M de ordem n por 1, tem-se
e M^t A M >= 0 Leftrightarrow M=0 ; M^t A M >= 0
  • A=A^t (isto é, A é uma matriz simétrica).
    (OBS: Aqui, a notação B^t indica a matriz transposta de B ).

Passo 1

Ok, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos uma matriz lang<= u, vrang<= := ([u]beta)^t A [v]beta de ordem e uma base de . A tarefa é mostrar que a expressão
define um produto interno em se e somente se a matriz for positiva definida e simétrica. Para isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e o que significa uma matriz ser positiva definida e simétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno em é uma função que associa dois vetores a um número real, satisfazendo quatro propriedades básicas:
  1. Simetria:
  2. Linearidade: para escalares
  3. Positividade: para todo
  4. Definido positivo: se e somente se
Vamos verificar se a expressão dada satisfaz essas propriedades, supondo que seja simétrica e positiva definida.

Passo 3

Simetria: Precisamos mostrar que lang<= u, v rang<= = ([u]beta)^t A [v]beta . Calculando:
lang<= v, u rang<= = ([v]beta)^t A [u]beta
([u]beta)^t A [v]beta = ([v]beta)^t A [u]beta
Como é simétrica ( ), temos:
Portanto, a simetria está garantida.

Passo 4

Linearidade: Vamos verificar a linearidade em relação ao primeiro argumento. Seja lang<= au + bw, v rang<= = ([au + bw]beta)^t A [v]beta um escalar e = (a[u]beta + b[w]beta)^t A [v]beta um vetor:
= a [u]beta^t A [v]beta + b [w]beta^t A [v]beta
Como as coordenadas são lineares:
= a lang<= u, v rang<= + b lang<= w, v rang<=
Assim, a linearidade está satisfeita.

Passo 5

Positividade e Definido Positivo: Precisamos mostrar que lang<= v, v rang<= = ([v]beta)^t A [v]beta e que M^t A M >= 0 apenas se .
Calculando:
Já que é positiva definida, para qualquer vetor (aqui ):
E se e somente se , ou seja, se .

Resposta

Assim, mostramos que a expressão define um produto interno em se e somente se a matriz for simétrica ( ) e positiva definida.

Exercícios relacionados