Determine p de modo que sejam perpendiculares a retas px-y-1=0 e (p-1)x+py+10=0. R : p=0 ou p=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o valor de que faz com que as retas e sejam perpendiculares. Para resolver isso, precisamos saber sobre coeficientes angulares de retas e a condição de perpendicularidade entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular (inclinação) de cada reta. A forma geral de uma reta é px - y - 1 = 0 implies y = px - 1 , onde é o coeficiente angular.
Para a primeira reta :
Aqui, o coeficiente angular .

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda reta (p-1)x + py + 10 = 0 implies py = -(p-1)x - 10 implies y = -(p-1)px - 10p :
Então, o coeficiente angular .

Passo 4

Sabemos que duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for m1 times m2 = -1 . Ou seja:
p times (-(p-1)p) = -1
Substituindo e :

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
p times (-(p-1)p) = -(p)(p-1)p = -(p-1) = -1
Então:
-(p - 1) = -1 implies p - 1 = 1 implies p = 2

Passo 6

No entanto, precisamos verificar se há outro valor de 0 cdot x - y - 1 = 0 implies y = -1 que também satisfaz a condição. Observando a expressão (-1)x + 0 cdot y + 10 = 0 implies x = 10 , se , a equação original das retas fica:
E para a segunda reta:
Retas e são perpendiculares, já que uma é horizontal e a outra é vertical.

Resposta

Os valores de que tornam as retas perpendiculares são e .

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