Seja
um grupo e considere as seguinte afirmações:
(V) Se
, então
é isomorfo a um subgrupo de
.
(V) Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está dizendo. Temos um grupo
e dois subgrupos normais
e
dentro dele. A afirmação propõe que o quociente
é isomorfo a um subgrupo de
. Então, vamos precisar entender conceitos de subgrupos normais, grupos quocientes e isomorfismos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembremos que se
e
são subgrupos normais de
, então suas interseções
também são normais em
. Isso significa que podemos formar o grupo quociente
.
Passo 3
Agora, consideremos o produto direto
. Esse é um grupo onde cada elemento é um par
, com
.
Passo 4
Para mostrar que
é isomorfo a um subgrupo de
, vamos definir uma aplicação
por
.
Passo 5
Essa aplicação
é bem definida porque
está contido em ambos
e
. Além disso,
é um homomorfismo de grupos, pois preserva a operação de grupo.
Passo 6
Para que
seja um isomorfismo, precisamos que seja injetora. Isso ocorre se o núcleo de
for trivial. De fato, o núcleo de
é
, então
é injetora quando passamos para o quociente
.
Passo 7
Finalmente, como
é um homomorfismo injetor,
é isomorfo à sua imagem em
. Portanto,
pode ser visto como um subgrupo de
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.