Seja G um grupo e considere as seguinte afirmações:
(V) Se H, K normal subgrupo de G, então G / (H ∩ K) é isomorfo a um subgrupo de G / H * G / K.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está dizendo. Temos um grupo e dois subgrupos normais e dentro dele. A afirmação propõe que o quociente é isomorfo a um subgrupo de . Então, vamos precisar entender conceitos de subgrupos normais, grupos quocientes e isomorfismos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembremos que se e são subgrupos normais de , então suas interseções também são normais em . Isso significa que podemos formar o grupo quociente .

Passo 3

Agora, consideremos o produto direto . Esse é um grupo onde cada elemento é um par , com .

Passo 4

Para mostrar que é isomorfo a um subgrupo de , vamos definir uma aplicação por .

Passo 5

Essa aplicação é bem definida porque está contido em ambos e . Além disso, é um homomorfismo de grupos, pois preserva a operação de grupo.

Passo 6

Para que seja um isomorfismo, precisamos que seja injetora. Isso ocorre se o núcleo de for trivial. De fato, o núcleo de é , então é injetora quando passamos para o quociente .

Passo 7

Finalmente, como é um homomorfismo injetor, é isomorfo à sua imagem em . Portanto, pode ser visto como um subgrupo de .

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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