Determine onde
existe, onde
é analítica e ache o valor de
quando:
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir onde a derivada de
, ou seja,
, existe. Além disso, a função
é analítica, o que significa que ela é diferenciável em um certo domínio no plano complexo. Por fim, precisamos calcular
para a função específica
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo complexo, como derivadas de funções de variável complexa e propriedades de funções analíticas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde
existe para
. A função
está definida para todo
no conjunto dos números complexos, exceto quando
, pois nesse caso o denominador seria zero e a função não estaria definida. Portanto,
é analítica em todo o plano complexo menos no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
. Para funções do tipo
, a derivada é dada por
. No nosso caso,
, então:
Resposta
A derivada
existe para todo
no conjunto dos números complexos, exceto em
. O valor de
quando
é: