Determine onde f'(z) existe, onde f é analítica e ache o valor de f'(z) quando: f(z) = 1/z.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir onde a derivada de , ou seja, , existe. Além disso, a função é analítica, o que significa que ela é diferenciável em um certo domínio no plano complexo. Por fim, precisamos calcular para a função específica . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo complexo, como derivadas de funções de variável complexa e propriedades de funções analíticas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde existe para . A função está definida para todo no conjunto dos números complexos, exceto quando , pois nesse caso o denominador seria zero e a função não estaria definida. Portanto, é analítica em todo o plano complexo menos no ponto .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de . Para funções do tipo , a derivada é dada por . No nosso caso, , então:

Resposta

A derivada existe para todo no conjunto dos números complexos, exceto em . O valor de quando é:

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