Uma sequência exata de espaços vetoriais Vi de dimensão finita
0 -> T0 -> V1 -> T7 -> V2 -> T2 -> V3 -> T3 -> V4 -> T4 -> 0
é uma sequência de transformações lineares Ti tais que ker(T_{i+1}) = im(T_{i}) para i = 0, 1, 2, 3 (denotamos por 0 o espaço vetorial nulo). Se na sequência exata acima dim Vi = di, então é sempre verdade que
(a) d1 = d2 + d3 + d4

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos uma sequência exata de espaços vetoriais com dimensões finitas conectados por transformações lineares . O que é uma sequência exata? Simplesmente que a imagem de uma transformação é igual ao núcleo da próxima. Nosso objetivo é mostrar que a dimensão de ( ) é igual à soma das dimensões de e ( ). Vamos precisar usar teoria de espaços vetoriais, especialmente o Teorema da Dimensão que relaciona a dimensão da imagem e do núcleo de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema da Dimensão, que diz que para uma transformação linear , temos:
Onde é a imagem de e é o núcleo (conjunto dos vetores que são mapeados para zero).

Passo 3

Aplicando isso à nossa sequência exata:
  1. Para , a imagem de é apenas o vetor zero, então:
E, pela exatidão, . Portanto:
Isso confirma a relação para .

Passo 4

Vamos continuar para . Pela exatidão:
Aplicando o Teorema da Dimensão:
Isso mostra que .

Passo 5

Aplicando o mesmo raciocínio para as próximas transformações:
  • Para :
E:
  • Para :
E:

Passo 6

Agora, somando todas essas dimensões:
Somando :
Mas, pela exatidão da sequência, , , e . Isto implica que:

Resposta

Sempre é verdade que .

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