Uma sequência exata de espaços vetoriais de dimensão finita
é uma sequência de transformações lineares Ti tais que ker(T_{i+1}) = im(T_{i}) para i = 0, 1, 2, 3 (denotamos por 0 o espaço vetorial nulo). Se na sequência exata acima dim Vi = di, então é sempre verdade que
(a) d1 = d2 + d3 + d4
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos uma sequência exata de espaços vetoriais com dimensões finitas conectados por transformações lineares . O que é uma sequência exata? Simplesmente que a imagem de uma transformação é igual ao núcleo da próxima. Nosso objetivo é mostrar que a dimensão de () é igual à soma das dimensões de e (). Vamos precisar usar teoria de espaços vetoriais, especialmente o Teorema da Dimensão que relaciona a dimensão da imagem e do núcleo de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema da Dimensão, que diz que para uma transformação linear , temos:
Onde é a imagem de e é o núcleo (conjunto dos vetores que são mapeados para zero).
Passo 3
Aplicando isso à nossa sequência exata:
Para , a imagem de é apenas o vetor zero, então:
E, pela exatidão, . Portanto:
Isso confirma a relação para .
Passo 4
Vamos continuar para . Pela exatidão:
Aplicando o Teorema da Dimensão:
Isso mostra que .
Passo 5
Aplicando o mesmo raciocínio para as próximas transformações:
Para :
E:
Para :
E:
Passo 6
Agora, somando todas essas dimensões:
Somando :
Mas, pela exatidão da sequência, , , e . Isto implica que: