Sejam v1=(1,-2,2,3,1), v2=(3,-2,3,4,-1), v3=(2,-8,7,11,6), v4=(-9,2,-9,-2,3) e W=L(v1, v2, v3, v4)=alpha1 v1+alpha2 v2+alpha3 v3+alpha4 v4 ; alpha1, alpha2, alpha3, alpha4 in R um subespaço do R^5.
(a) Encontre uma base beta para W tal que v3 in beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto de quatro vetores em e queremos encontrar uma base para o subespaço que é gerado por esses vetores. Além disso, a gente precisa garantir que o vetor esteja nessa base. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear, independência linear e bases de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que são lineares e que geram todo o subespaço. Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores, e nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação dos outros.
Para garantir que esteja na base, vamos começar incluindo ele e verificar quais dos outros vetores são necessários para gerar todo o subespaço sem redundância.

Passo 3

Vamos montar uma matriz cujas colunas são os vetores 1 & 3 & 2 & -9 -2 & -2 & -8 & 2 2 & 3 & 7 & -9 3 & 4 & 11 & -2 1 & -1 & 6 & 3 , , e :
Nosso objetivo é determinar se existe uma combinação linear desses vetores que resulte em zero, o que indicaria dependência linear.

Passo 4

Vamos resolver o sistema homogêneo 1 & 3 & 2 & -9 -2 & -2 & -8 & 2 2 & 3 & 7 & -9 3 & 4 & 11 & -2 1 & -1 & 6 & 3 alpha1 alpha2 alpha3 alpha4 = 0 0 0 0 0 . Isso corresponde a resolver a equação matricial:

[


]
Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar os valores de , , e .

Passo 5

Após aplicar as operações de linha, vamos determinar que existe uma relação de dependência linear entre os vetores. Isso significa que nem todos os vetores são necessários para gerar . Precisamos selecionar um subconjunto de vetores que seja linearmente independente e que ainda inclua .

Passo 6

Identificamos que pode ser escrito como uma combinação dos outros vetores. Portanto, podemos descartá-lo da base. Assim, os vetores , e são suficientes para gerar e são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para que inclui é .

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