Sejam e um subespaço do .
(a) Encontre uma base para tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto de quatro vetores em e queremos encontrar uma base para o subespaço que é gerado por esses vetores. Além disso, a gente precisa garantir que o vetor esteja nessa base. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear, independência linear e bases de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que são lineares e que geram todo o subespaço. Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores, e nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação dos outros.
Para garantir que esteja na base, vamos começar incluindo ele e verificar quais dos outros vetores são necessários para gerar todo o subespaço sem redundância.
Passo 3
Vamos montar uma matriz cujas colunas são os vetores , , e :
Nosso objetivo é determinar se existe uma combinação linear desses vetores que resulte em zero, o que indicaria dependência linear.
Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar os valores de , , e .
Passo 5
Após aplicar as operações de linha, vamos determinar que existe uma relação de dependência linear entre os vetores. Isso significa que nem todos os vetores são necessários para gerar . Precisamos selecionar um subconjunto de vetores que seja linearmente independente e que ainda inclua .
Passo 6
Identificamos que pode ser escrito como uma combinação dos outros vetores. Portanto, podemos descartá-lo da base. Assim, os vetores , e são suficientes para gerar e são linearmente independentes.