Seja A uma matriz
de posto três. Suponhamos que
, sendo
uma matriz
não nula. Qual é o posto de
?
Passo 1
Vamos resolver um problema envolvendo matrizes e seus postos. Temos uma matriz
de tamanho
com posto 3, e uma matriz
de tamanho
que não é nula. Sabemos que
. Nosso objetivo é encontrar o posto da matriz
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como posto de matrizes, espaço nulo e colunas de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o posto de uma matriz. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes. No caso, o posto de
é 3, o que indica que existem 3 colunas de
que são linearmente independentes.
Passo 3
Sabemos que
. Isso significa que todas as colunas de
estão no espaço nulo de
. O espaço nulo de
, denotado por
, é o conjunto de todas as soluções da equação
.
Passo 4
Para encontrar o espaço nulo de
, usamos a relação entre o posto e a dimensão do espaço nulo. A dimensão do espaço nulo é dada por:
onde
é o número de colunas de
. Assim:
Isso significa que o espaço nulo de
é um espaço vetorial de dimensão 1.
Passo 5
Como todas as colunas de
estão no espaço nulo de
e esse espaço tem dimensão 1, todas as colunas de
são múltiplos uns dos outros. Portanto, as colunas de
são linearmente dependentes.
Passo 6
Se todas as colunas de
são múltiplos umas das outras, então o posto de
é 1, já que apenas uma coluna é necessária para gerar todas as outras por combinação linear.
Resposta
O posto da matriz
é 1.
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