Seja A uma matriz de posto três. Suponhamos que , sendo uma matriz não nula. Qual é o posto de ?

Passo 1

Vamos resolver um problema envolvendo matrizes e seus postos. Temos uma matriz de tamanho com posto 3, e uma matriz de tamanho que não é nula. Sabemos que . Nosso objetivo é encontrar o posto da matriz . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como posto de matrizes, espaço nulo e colunas de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o posto de uma matriz. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes. No caso, o posto de é 3, o que indica que existem 3 colunas de que são linearmente independentes.

Passo 3

Sabemos que . Isso significa que todas as colunas de estão no espaço nulo de . O espaço nulo de , denotado por , é o conjunto de todas as soluções da equação .

Passo 4

Para encontrar o espaço nulo de , usamos a relação entre o posto e a dimensão do espaço nulo. A dimensão do espaço nulo é dada por:
onde é o número de colunas de . Assim:
Isso significa que o espaço nulo de é um espaço vetorial de dimensão 1.

Passo 5

Como todas as colunas de estão no espaço nulo de e esse espaço tem dimensão 1, todas as colunas de são múltiplos uns dos outros. Portanto, as colunas de são linearmente dependentes.

Passo 6

Se todas as colunas de são múltiplos umas das outras, então o posto de é 1, já que apenas uma coluna é necessária para gerar todas as outras por combinação linear.

Resposta

O posto da matriz é 1.

Exercícios relacionados

Classifique e esboce cada uma das superfícies abaixo.
Classifique e esboce cada uma das superfícies abaixo.
Classifique e esboce cada uma das superfícies abaixo.
Classifique e esboce cada uma das superfícies abaixo.