Classifique e esboce cada uma das superfícies abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa classificar e esboçar a superfície definida pela equação . Isso envolve um pouco de geometria analítica, onde a gente identifica que tipo de superfície estamos lidando e como ela se parece graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da superfície:
Essa forma nos mostra que depende do quadrado de . Isso é uma pista importante sobre o tipo de superfície.

Passo 3

Agora, vamos lembrar alguns tipos básicos de superfícies:
  • Paraboloide: Superfície que tem a forma de uma parábola em uma ou mais direções.
  • Plano: Superfície plana, como uma folha de papel.
  • Cilindro: Superfície gerada por uma reta que se move paralelamente a si mesma.
Como nossa equação tem um termo quadrático em , provavelmente estamos lidando com um paraboloide.

Passo 4

De fato, a equação é a equação de um paraboloide de revolução. Isso porque, para cada valor de , é sempre positivo ou zero, formando uma curva parabólica que se estende ao longo do eixo .

Passo 5

Para esboçar a superfície, imagine que fixamos valores para e vemos como varia:
  • Para , .
  • Para , .
  • Para , .
  • E assim por diante.
Isso cria uma parábola que se abre para cima no plano , e se estende infinitamente no eixo , já que não está presente na equação.

Resposta

A superfície definida pela equação é um paraboloide de revolução, que se abre na direção positiva do eixo . O esboço dessa superfície mostra uma parábola no plano que se estende infinitamente ao longo do eixo .

Exercícios relacionados

Calcule a distância do ponto à reta :
Escreva o vetor como combinação dos vetores:
e .
Classifique e esboce cada uma das superfícies abaixo.
Seja A uma matriz de posto três. Suponhamos que , sendo uma matriz não nula. Qual é o posto de ?