Seja x um número real tal que os primeiros três termos de uma progressão geométrica infinita são 1, 2x, -3x+1, nesta ordem, sabendo que todos os termos da progressão são positivos, a soma de todos é igual a
a) 3/2
b) 2
c) 5/2
D) 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma progressão geométrica (PG) infinita, onde os três primeiros termos são 1, 2x e -3x + 1. Além disso, todos os termos dessa PG são positivos e queremos descobrir a soma de todos eles. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como uma PG funciona, encontrar a razão comum e usar a fórmula da soma de uma PG infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma progressão geométrica. Em uma PG, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum r. Então, se o primeiro termo é a1, o segundo é a2 = a1 times r, o terceiro é a3 = a2 times r, e assim por diante.

Passo 3

Sabemos que os três primeiros termos da PG são 1, 2x e -3x + 1. Vamos usar essa informação para encontrar a razão r.
Como a2 = a1 times r:
2x = 1 times r
r = 2x

Passo 4

Agora, usamos o terceiro termo para encontrar outra relação:
a3 = a2 times r
-3x + 1 = 2x times r
Substituímos r por 2x:
-3x + 1 = 2x times 2x
-3x + 1 = 4x^2

Passo 5

Temos agora uma equação quadrática:
4x^2 + 3x - 1 = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de x. Usamos a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 4, b = 3 e c = -1.
Calculando o discriminante:
De
Então:
x = -3 pm raiz258
x = -3 pm 58
Isso dá duas soluções:
x = 28 = 14
x = -88 = -1

Passo 6

Mas lembrando que todos os termos da PG são positivos. Vamos verificar qual valor de x satisfaz isso.
Para x = 14:
r = 2x = 12
Os termos seriam 1, 2 times 14 = 12, e -3 times 14 + 1 = 14, todos positivos.
Para x = -1:
r = 2x = -2
O segundo termo seria negativo, o que não satisfaz a condição. Então, x = 14 é a solução válida.

Passo 7

Agora que temos a razão r = 12, podemos usar a fórmula da soma de uma PG infinita, que é:
S = a11 - r
Onde a1 = 1 e r = 12.
Calculando:
S = 11 - 12 = 112 = 2

Resposta

A soma de todos os termos da progressão é igual a 2 (letra b).

Exercícios relacionados