Seja x um número real tal que os primeiros três termos de uma progressão geométrica infinita são 1, 2x, -3x+1, nesta ordem, sabendo que todos os termos da progressão são positivos, a soma de todos é igual a
a) 3/2
b) 2
c) 5/2
D) 3
a) 3/2
b) 2
c) 5/2
D) 3
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma progressão geométrica (PG) infinita, onde os três primeiros termos são 1,
e
. Além disso, todos os termos dessa PG são positivos e queremos descobrir a soma de todos eles. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como uma PG funciona, encontrar a razão comum e usar a fórmula da soma de uma PG infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma progressão geométrica. Em uma PG, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum
. Então, se o primeiro termo é
, o segundo é
, o terceiro é
, e assim por diante.
Passo 3
Sabemos que os três primeiros termos da PG são 1,
e
. Vamos usar essa informação para encontrar a razão
.
Como
:
Passo 4
Agora, usamos o terceiro termo para encontrar outra relação:
Substituímos
por
:
Passo 5
Temos agora uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
Calculando o discriminante:
Então:
Isso dá duas soluções:
Passo 6
Mas lembrando que todos os termos da PG são positivos. Vamos verificar qual valor de
satisfaz isso.
Para
:
Os termos seriam 1,
Para
:
O segundo termo seria negativo, o que não satisfaz a condição. Então,
Passo 7
Agora que temos a razão
, podemos usar a fórmula da soma de uma PG infinita, que é:
Onde
Calculando:
Resposta
A soma de todos os termos da progressão é igual a 2 (letra b).