Seja S a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2z delimitada em 0 <= z <= 1. Considere em S a orientação dada pelo vetor normal exterior. Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (x + z, x * z + y, 2 + y) através da superfície orientada S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma parte de uma esfera usando o Teorema da Divergência. Basicamente, vamos precisar entender o que é fluxo, o Teorema da Divergência, e como aplicar isso nessa situação específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que o fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície fechada S é igual à integral da divergência de F sobre o volume V limitado por S. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência é dada por:
Calculando as derivadas:

Passo 4

A superfície S dada é parte da esfera , que podemos reescrever como . Isso representa uma esfera de raio 1 centrada em . A parte da esfera que nos interessa está entre 0 <= z <= 1.
Para aplicar o Teorema da Divergência, precisamos de uma superfície fechada. Então, vamos fechar S com o disco D no plano z = 0. Agora, temos uma superfície fechada composta por S e D.

Passo 5

Aplicando o Teorema da Divergência:
Temos que calcular o volume V limitado por S e D. Esse volume é um hemisfério de raio 1. O volume de uma esfera completa de raio r é , então o volume do hemisfério é:
Portanto:

Passo 6

Agora, precisamos considerar o fluxo através de D. No disco D, a orientação é para baixo, já que a orientação de S é exterior. Vamos calcular esse fluxo.
No disco D, z = 0, e . O vetor normal é . Então:
O fluxo através de D é:
Como a integral de y sobre o disco simétrico em relação ao eixo y é zero:
Á

Passo 7

Voltando ao Teorema da Divergência:
Substituindo o fluxo através de D:
Isolando o fluxo através de S:

Resposta

O fluxo do campo vetorial F através da superfície S é .

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