Seja
a parte da esfera
delimitada em
. Considere em
a orientação dada pelo vetor normal exterior. Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície orientada
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma parte de uma esfera usando o Teorema da Divergência. Basicamente, vamos precisar entender o que é fluxo, o Teorema da Divergência, e como aplicar isso nessa situação específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
limitado por
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Calculando as derivadas:
Passo 4
A superfície
dada é parte da esfera
, que podemos reescrever como
. Isso representa uma esfera de raio 1 centrada em
. A parte da esfera que nos interessa está entre
.
Para aplicar o Teorema da Divergência, precisamos de uma superfície fechada. Então, vamos fechar
com o disco
no plano
. Agora, temos uma superfície fechada composta por
e
.
Passo 5
Aplicando o Teorema da Divergência:
Temos que calcular o volume
limitado por
e
. Esse volume é um hemisfério de raio 1. O volume de uma esfera completa de raio
é
, então o volume do hemisfério é:
Portanto:
Passo 6
Agora, precisamos considerar o fluxo através de
. No disco
, a orientação é para baixo, já que a orientação de
é exterior. Vamos calcular esse fluxo.
No disco
,
, e
. O vetor normal é
. Então:
O fluxo através de
é:
Como a integral de
sobre o disco simétrico em relação ao eixo
é zero:
Passo 7
Voltando ao Teorema da Divergência:
Substituindo o fluxo através de
:
Isolando o fluxo através de
:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície
é
.